例析以長方形對角線為載體的中考試題

楊發鑫

中考試題中，以長方形為載體的中考題屢屢出現，這類題往往要用到有關長方形對角線的結論，若這個結論沒掌握好，要解這類題目是不容易的，下面我給出結論及應用供同仁們參考．

結論１ 如圖１，長方形ＡＢＣＤ的對角線把長方形分成面積相等的兩部分．

利用三角形全等容易證明

S△ACB = S△ACD．

結論２ 如圖２，ＡＣ是長方形ＡＢＣＤ的對角線，點Ｅ是對角線ＡＣ上一動點，過點Ｅ分別做ＡＢ，ＡＤ的平行線段ＩＦ，ＨＧ，點Ｉ，Ｆ分別在ＡＤ，ＢＣ上，點Ｈ，Ｇ分別在ＡＢ，ＤＣ上，則圖中陰影部分的面積相等，即S1 = S2．

證明：如圖２，在長方形ＡＢＣＤ中，由結論１知，S△ACB = S△ACD……①．

同理在長方形ＡＨＥＩ中，由結論１知，

S△AEI = S△ABH……②．

同理在長方形ＥＦＣＧ中，由結論１知，

S△ECG = S△ECF……③．

①-②-③，得S1 = S2．

例１ （２０１１年浙江省杭州市城南初級中學中考數學模擬試題）如圖３，矩形ＡＢＣＤ的對角線ＢＤ經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點Ｃ在反比例函數y = ■的圖像上．若點Ａ的坐標為（－２，－２），則ｋ的值為 （ ）.

Ａ． －２ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４

點評 由結論２，易知ｋ ＝ ４，答案選Ｄ.

例２ （２０１１甘肅蘭州）如圖４，矩形ＡＢＣＤ的對角線ＢＤ經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點Ｃ在反比例函數y = ■的圖像上．若點Ａ的坐標為（－２，－２），則ｋ的值為 （ ）.

Ａ． １ Ｂ． －３ Ｃ． ４ Ｄ． １或－３

點評 由結論２，易知k2 + 2k + 1 =4，解得ｋ ＝ １或－３ ，答案選Ｄ.

以上兩例說明了這個結論在解題中的重要作用，若平時對這個結論不熟悉，要解出這兩道例題顯然是不容易的．