“等差?等比”型數列求和之配導法

李瑞陽

對于“等差?等比”型數列的求和，大家都熟悉的方法自然是錯位相減法，此法也是要求學生熟練掌握的一種方法，除此之外，恐怕很少有學生會去考慮是否還有其他方法，對于教師，長期以來也都是教學生如何正確地用錯位相減法去解決此類數列求和問題。

一個偶然的發現，在跟學生演示幾何分布的期望的推導過程中，研究并推廣了另一種方法，下面將研究過程陳述如下：

設隨機變量 服從幾何分布，其分布列為：

其中p代表試驗成功的概率，q=1－p

則 的期望E =p+2qp+3q2p+…+nqn-1p+…

=p（1+2qp+3q2+…+nqn-1+…）①

括號內是一個典型的“等差?等比”型數列的求和的極限，錯位相減法的過程就不再復述，下面將導數法的全過程再現如下：

①式=p（q+q2+q3+…+qn+…）'

=p［］'

=p［］'=p=

從推導過程看得出，原本是錯位相減法解決的類型，轉化成冪函數的和求導，問題也能解決。

于是我們會猜想：是不是所有的“等差?等比”型數列的求和都可以實現這樣一個轉化呢，錯位相減法是否并非解決此類問題的唯一方法？

經過研究回答是肯定的，并可以得出一個“等差?等比”型數列的求和公式，我將這種方法命名為“配導法”，下面詳細介紹如下：

首先準備兩個“材料”：i）任何等差數列{an}的通項都可用an=dn+b（d、b為常數）表示，其中公差為d；ii）任何等比數列{bn}的通項都可用bn=pqn-1（p、q為常數）表示，其中公比為q。

于是所有“等差?等比”型數列{cn}的通項都可用cn=（dn+b）pqn-1表示，為了研究它的求和公式，我們先研究一個比它略為簡單的數列的求和。

設數列c'n=（n+c）qn-1，其前n項和設為Sn

則Sn=c'1+c'2+c'3…c'n

=（1+c）+（2+c）q+（3+c）q2+…+（n+c）qn-1

=（1+2q+3q2+…+nqn-1）+c（1+q+q2+…+qn-1）

=（q+q2+q3+…+qn）'+c

=［］'+

=－ （*）

我們只要把數列cn=（dn+b）pqn-1先處理一下就可以套用公式（*）

cn=（dn+b）pqn-1=dp（n+）qn-1

下面舉例對“配導法”進行應用：

例1.已知數列{an}的通項為an=（2n－1）?3n，求它的前n項和Sn

解： an=6（n－）?3n-1

設bn=（n－）?qn-1其前n項和記為Bn

則Bn=（1－）+（2－）q+（3－）q2+…+（n－）qn-1

=（1+2q+3q2+…+nqn-1）－（1+q+q2+…+qn-1）

=（q+q2+q3+…+qn）'－?

=［］'－?

=－?

將q=3代入上式得

Bn=－?

=?3n+

（或者將c=－，q=3直接代入公式（*）也可得上式結果）

∴Sn=6Bn=（n－1）3n+1+3

例2. 數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）.

（Ⅰ）求數列{an}的通項an；

（Ⅱ）求數列{nan}的前n項和Tn．

解：（Ⅰ） ∵an+1=2Sn（n∈N*） ①

∴當n≥2時，an=2Sn-1②

①－②：an+1－an=2an即：an+1=3an（n≥2）

將n=1代入①式得a2=2S1=2a1=2

∴{an} 是從第二項開始且a2=2，公比為3的等比數列

∴ an=

（Ⅱ） Tn=1?a1+2?a2+3?a3+4?a4+…+nan ③

記 Kn=2?a2+3?a3+4?a4+…+nan

=2?2+3?2?3+4?2?32+…+n?2?3n-2

=2[2+3?3+4?32+…+n?3n-2+（n+1）?3n-1－（n+1）?3n-1]（補項）

將c=1，q=3 代入公式（*）得：

Kn=2[qn－－（n+1）?3n-1]

=2[3n－－（n+1）?3n-1]

=（n－）?3n-1－（n≥2）

∴ Tn=1?a1+Kn=1+Kn=（n－）?3n-1+

下面將等差?等比”型數列的求和公式整理敘述如下：

對于數列{an}，an=（n+c）qn-1，其前n項和為Sn，則：

Sn=－

（責任編輯 李 翔）