巧用平移旋轉解數學題

張文蔚

平移旋轉是初中數學教材改革后新添的內容，這部分知識的引進為我們解決問題帶來很大的方便。下面是筆者在多年教學中的一些積累，愿與大家共同分享。

類型一：平移對角線

例1：如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，對角線AC⊥BD，若中位線MN＝8cm，求此梯形的面積.

分析：由于梯形的面積等于中位線乘以高，只要能求出高，則問題就可以解決，于是可以作出高線CF。

解：作高線CF，平移BD到EC，則BD∥EC

∵AB∥DC∴BE∥DC

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵AD＝BC，AC⊥BD

∴△ACE是等腰直角三角形

∴CF是斜邊上的中線，即AE=2CF，

而AE=AB+BE=AB+DC=2MN

∴CF=MN＝8cm

∴梯形的面積=MN證F=64cm2

例2：已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，對角線AC=5，BD=3，求此梯形的面積。

解：平移DB到AE，則BD∥AE，并作高線AF

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∴AE=BD=3，BE=AD=2

∴CE=6

設EF=x

在直角△AFE和直角△ACF中

由勾股定理得：AE2－EF2=AF2=AC2－CF2

即32－x2=52－（6－x）2 x=

∴AF=

∴S梯=AF（AD+BC）=

點評：通過平移對角線，將梯形問題這轉化為三角形和四邊形問題，并運用勾股定理構造方程來解決，體現了轉化思想和數形結合思想的重要作用。

類型二：平移腰

例3：如圖所示：在梯形ABCD中，AD∥BC，B+C=90癆D=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，求EF的長

解：平移AB到EM，CD到NE

∴∠B=∠EMC∠C=∠ENB

∵∠B+∠C=90?

∴∠EMC+∠ENB=90啊 唷螹EN=90?

∵E、F分別是AD、BC的中點

∴F是MN的中點

∴EF=MN=1

點評：通過平移腰，可以充分利用題目的條件轉化為直角三角形，將問提簡單化。

類型三：旋轉圖形

例4：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為CD、DA上的點，BF平分∠AFE，并有EF=AF+CE，求∠EBF

解：以B點為旋轉中心，將△BCE按逆時針旋轉使得C點與A點重合，得△BAM≌△BCE

∵EF=AF+CE

∴EF=AF+AM

即：EF=FM

又∵BF平分∠AFE

∴∠BFE=∠BFM

∴△BFM≌△BFE ∴∠EBF=∠FBM

又∵∠CBE=∠ABM

∴∠EBM=90?

∴∠EBF=45?

點評：通過旋轉將問題這轉化為三角形全等，解決問題非常方便。

例5：如圖：點P是等邊△ABC內的一點，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數

解：將△PBC繞點B逆時針旋轉60暗玫健鱌BM

∴MPB=60?

∵PA=3，PB=4，PC=5由勾股定理得，∠APM=90?

又∵BP=BM MBP=60?

∴△MBP是等邊三角形

∴MPB=60?

∴APB=APM+MPB=90?60?150?

點評：通過旋轉將問題簡單明了，進一步轉化為直角三角形，再利用勾股定理得出。

（責任編輯 李 翔）