有耗色散介質中的FDTD方法

李慶偉

該文討論了時域有限差分(FDTD)法在地下有耗色散介質中的應用。用數值模擬地下有耗色散目標的瞬態響應，并對結果進行了分析。從以上工作可看出該方法在有耗色散介質中是有效可行的。

時域有限差分；有耗色散介質；Debye方程；吸收邊界條件；STWBC邊界

用時域有限差分法（FDTD）分析與頻率無關的非色散的復雜電磁場問題具有顯著的優越性。對單色穩定電磁波的問題，媒質的色散性質不產生影響，對窄頻帶的問題也可以近似地忽略媒質的色散特性，但對包含寬頻譜的瞬態電磁場問題，媒質的色散性質起著重要作用。對于諸如與頻率有關的電磁場問題分析計算時，由于存在著時域卷積，計算現時的場量與先前時刻的場量有關，因此在FD-TD計算中則必須將前時刻所有的場量儲存起來，這顯然是不可行的，使得常規的YEE FDTD方法無法應用。然而FD-TD法經修正后仍可用于分析特殊色散媒質中瞬時傳播問題。

近年來國內外不少研究人員對色散媒質FDTD法進行了研究，代表性的研究方法主要有兩種：遞推卷積法（Luebbers等-1990）和直接微分法。由于很多色散媒質的極化率都無法表示為指數形式，因此無法應用這種遞推卷積方法，另外，即使極化率可以表示成指數形式，但每種色散媒質都必須單獨推導自己的FDTD方程。顯然這種遞推法的通用性不強，使用極其不便。直接微分法則依據本構關系的時域微分方程，建立輔助微分方程，最終通過求解關于矢量H，D，E的時域差分方程組得到場解。本文擬從直接微分法出發探討FDTD法在有耗色散介質中的應用。

1.實現方法

基本方程式。無源有耗(不考慮磁損耗，即)色散媒質，時域內的Maxwell方程為（1）

其中，E-電場強度(V/m)；H-磁場強度(A/m)；B-磁通密度(Wb/m2)，D-電通密度(C/m2)；-電導率(S/m);-磁導率（H/m），這里設磁導率與頻率無關，即，。

以二維TM波為例，采用Yee氏網絡，由(1)式中第一式可得到H各分量在t=n△t時刻隨時間推進的FDTD公式：

（2）

其中，為每一計算區域的值，為等距空間步長。

將(1)式中第二式在t=(n+1/2)△t時刻做差分離散，可得(即（3）

按照Yee氏網絡，可得Dz分量的FDTD公式：

（4）

轉換公式。下面通過直接微分法實現由D到E的轉換：

設介質為一階Debye型有耗色散介質，可以寫成以下形式

（5）

式中，為復介電系數，為真空介電常數，分別為靜態和無限頻率的相對介電常數，為電導率，為馳豫時間常數。

將（5）式代入色散介質頻域本構關系，可得 （6）

即（7）

利用頻域到時域的算子轉換關系，可得（7）式的時域方程為=（8）

將（8）式在t=(n+1/2)△t時刻離散，可得

（9）

即+ （10）

由此可以得到時域中由D到E轉換的FDTD公式

（11）

其中

在以上各式中，對二維TM波，考慮解的穩定性及FDTD法的收斂條件，可取

綜上所述，有耗色散介質中FDTD隨時間推進的的步驟為，通過式（2）、（4）、（11），依次計算出各分量。

2.吸收邊界條件

吸收邊界條件。用FDTD求解電磁場問題時假定空間是無限大的，受計算機存儲量和計算時間的限制，FDTD的計算只能在有限區域進行。為了使框定的有限空間與無限空間等效，在計算區域的截斷邊界處必須給出吸收邊界條件。使得向邊界面行進的波在邊界處無明顯的反射現象。吸收邊界條件的選取與合理設置是FDTD法計算中必須考慮的重要內容。

吸收邊界條件從開始簡單的插值邊界，到后來較常用的Engqusit-Majda的吸收邊界條件(Engqusit and majda，1977)，Mur吸收邊界(Mur，1981)，Lao吸收邊界條件(Liao et al.，1984)以及近年發展的PML完全匹配層（Berenger，1994）和UPML各向異性介質完全匹配層(Sacks 1995，Genney 1996)。其吸收效果越來越好。

駐波-行波吸收邊界條件(STWBC)。PML邊界體現了更大的優越性，其缺點在于復雜性和適應性，如果是研究有耗問題或色散問題，PML的應用困難將會大大增加。Tan于2001年提出的駐波-行波吸收邊界條件(STWBC)，由于該邊界比單向波邊界所需計算空間小，數值穩定性好，同時不象PML邊界需要進行場量分離和附加額外的吸收層，因此計算效率較高。

駐波-行波邊界是在計算區域邊界處加理想導體，根據電磁場理論，波到達邊界面將發生全反射，若是理想導電(磁)壁，則切向電(磁)場為零，切向磁(電)場是入射場的兩倍，這是嚴格正確的。同時，反射場將往回傳播，在區域內部形成駐波，隨時間推移，駐波逐漸向內部擴展，而反射波未到達區域，場仍保持行波狀態。由于FDTD算法具有時序性，即由前時刻場推導當前時刻場，只要在邊界處將反射波濾除，只保留入射波，在以后的時空迭代中將不存在反射場，保持了內部區域的行波狀態。這就是駐波-行波邊界的基本思想。要將反射波濾除，只需在每個時間步迭代時將算出的邊界上切向磁場(對理想導電壁邊界而言)或切向電場(對理想導磁壁邊界而言)除以2即可。

下面給出STWBC邊界場的差分格式。以自由空間二維場為例，設電場分量為Ez，磁場分量為Hy，Hx，按Yee氏網格差分格式，設Ez位于整數個網格上，與Hy，Hx相差半個網格，二維計算空間兩端序號分別為0-M，0-N，等距空間步長為，時間步長為。現在給出右端的吸收邊界條件，在0.5處加理想導電壁，引入輔助電場(0.5=0

由二維FDTD方程有

0.5,1,0.5,

對上式作一階修正，得右端邊界入射磁場迭代式為

其他各端邊界條件與此類似，式中。

3.數值驗證

圖1第400時間步，波在色圖2觀察點在前2000

散介質空間的傳播情況 時間步的電場隨時間變化情況

用上述FDTD算法模擬一維TEM波在色散介質中的傳播，兩端的截斷處應用駐波-行波吸收邊界條件。色散介質的復數介電系數如式（5）所示，且=2.1491,=4.497，=8.5836,=8.3764，時間步長=8,空間步長為=0.005m，計算區域為，點源位置觀察點位置，所加激勵源為高斯脈沖,。

如圖所見，修正的FDTD公式還是能夠很好模擬TEM波在在色散介質中的傳播的。本文從直接微分法出發探討FDTD法在有耗色散介質中的應用，同時應用駐波—行波吸收邊界條件(STWBC)，實現對邊界條件的處理。該邊界比單向波邊界所需計算空間小，數值穩定性好，因此計算效率較高。通過數值驗證，可看出該方法在有耗色散介質中是有效可行的。