廣義積分中值定理的推廣與應用

李元玉

摘要：廣義積分中值定理是數學分析中的一個重要定理，對微分中值定理、曲線和曲面積分中值定理等的認識有很大幫助.本文根據廣義積分中的廣義積分和積分中值定理的定義和相關性質，擴展到廣義積分中值定理中，重點在單調區間上的廣義積分中值定理、帶有參數的廣義積分中值定理、廣義Riemann積分中的推廣這三方面進行探討.

關鍵詞：廣義積分；積分中值定理；廣義積分中值定理

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0164-03

1 廣義積分

1.1 第一類廣義積分

設函數f（x）在區間[a，b]上可積，則稱■f（x）dx為第一類廣義積分[1]，且當■■f（x）dx存在時，稱該廣義積分收斂，反之稱之為發散。

同理，有■f（x）dx屬于第一類廣義積分形式，而■f（x）dx由雙向極限（a→-∞，且b→+∞）確定其收斂性，屬第一類雙邊廣義積分。

1.2 第二類廣義積分

設f（x）在x=a右側領域內無界（x=a稱為f（x）的一個奇點），？坌X∈（a，b]，f（x）在[X，b]上可積，則稱■f（x）dx為第二類廣義積分[1]，且當■■f（x）dx存在時稱■f（x）dx收斂，反之極限不存在時，稱廣義積分■f（x）dx發散。

被積函數f在點a近旁是無界的，這時點a稱為f的瑕點，而無界函數反常積分■f（x）dx又稱為瑕積分。

類似上述描述可有積分上限為奇點的第二類廣義積分，甚至可有[a，b]內有奇點x=c的廣義積分■f（x）dx稱為第二類廣義積分。

2 積分中值定理

2.1 積分中值定理及其幾何意義

積分中值定理[1]：若f在[a，b]上連續，則至少存在一點ζ∈[a，b]，使得■f（x）dx=f（ξ）（b-a）.積分中值定理的幾何意義：若f在[a，b]上非負連續，則y=f（x）在[a，b]上的曲邊梯形面積等于以f（ξ）為高，[a，b]為底的矩形面積。■■f（x）dx理解為f（x）在區間[a，b]上所有函數的平均值。

2.2 積分中值定理的推廣

推廣[2]函數f（x）在[a，b]可積，m，n∈R，且m≤1≤n，則存在ξ，η∈[a，b]，使：

■f（x）dx=m■f（x）dx+n■f（x）dx（2.2.1）

■f（x）dx=n■f（x）dx+m■f（x）dx（2.2.2）

3 廣義積分中值定理

3.1 廣義積分中值定理

廣義積分中值定理[3]：設f（x），g（x）在[a，b]上連續，且g（x）在[a，b]上不變號，則至少存在一點ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=f（ξ）■g（x）dx.當g（x）≡1時，即為積分中值定理.

引理[4]設函數f（x）在[a，b]上連續，g（x）在[a，b]上可積且不變號，則必存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=f（ξ）■g（x）dx.

（或存在0<θ<1，使■f（x）g（x）dx=f（a+θ（b-a））■g（x）dx）

特別地，當時g（x）≡1，結論為：存在ξ∈[a，b]使■f（x）dx=f（ξ）（b-a）.

（或存在0<θ<1，使■f（x）dx=f（a+θ（b-a））（b-a）.

3.2 廣義積分中值定理的簡單應用

例.■■（1-x2）ndx；

解：（1）對任意ε>0（ε<1）取δ：0<δ<■

■（1-x2）ndx=■（1-x2）dx+■（1-x2）ndx

其中 0≤■（1-x2）dx≤■dx<■

0≤■（1-x2）dx=（1-ξ2n）n（1-δ）

[ξn∈（0，1）]<（1-δ2）n+1

因■（1-δ2）n+1=0，故對■>0，存在N，當n>N時，

有0≤■（1-x2）ndx<■，從而有■（1-x2）ndx=

■（1-x2）ndx+■（1-x2）ndx<■+■=ε

表明：■■（1-x2）ndx=0

3.3 廣義積分中值定理的推廣

3.3.1 在單調區間上的廣義積分中值定理

定理1[1] 設函數f（x）在[a，b]上可積，且函數g（x）在[a，b]上減，g（x）≥0，則存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=g（a）■f（x）dx ξ∈[a，b] （3.3.1）

定理2[1] 設函數f（x）在[a，b]上可積，且函數g（x）在[a，b]上增，g（x）≥0，則存在η∈[a，b]，使得■f（x）g（x）dx=g（b）■f（x）dx η∈[a，b]

定理3[1] 設函數f（x）在[a，b]上可積，若g（x）為單調函數，則存在ξ∈[a，b]，使得：■f（x）g（x）dx=g（a）■f（x）dx +g（b）■f（x）dx

3.3.2 帶有參數的廣義積分中值定理

定理4 設f（x）在[a，b]上單調遞增且非負，g（x）在[a，b]可積，n∈R且n≥1，則存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=nf（b）■g（x）dx

定理5 設f（x）在[a，b]上單調遞減且非負，g（x）在[a，b]可積，n∈R且n≥1，則存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=nf（b）■g（x）dx

3.3.3 在廣義Riemann積分中的推廣

定理6 （關于無限區間上廣義函數的廣義積分中值定理）設f（x）在半直線[a，+∞]上有界連續，g（x）是[a，+∞]上的非負函數，且■g（x）dx<+∞，則？坌ε>0必存在一有限點ξ∈[a，+∞）滿足■f（x）g（x）dx-f（ξ）■g（x）dx<ε.

定理7[5] （關于無界函數的廣義積分中值定理）設f（x）在區間（0，c]上連續有界，g（x）在（0，c]上非負（無界）即：■g（x）dx<+∞，那么對？坌ε>0，必存在一點ξ∈（0，c]使■f（x）g（x）dx-f（ξ）■g（x）dx<ε.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].高等教育出版社，2001.

[2]劉寧.強化積分中值定理結論，使其更具應用性[J].金華職業技術學院學報，2004，6（2）：50-52.

[3]閆彥綜.關于積分中值定理的推廣[J].牡丹江大學學報，2003，2（2）：68-69.