一道高考試題的錯(cuò)解剖析

董耀楊

題目：（2009年高考浙江卷文科21）已知函數(shù)f(x)=x3+（1-a）x2-a（a=2）x=b（a，b∈R）

（1）若函數(shù)f（x）的圖像過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3，求a，b的值；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]不單調(diào)，求a的取值范圍。

一、問題提出

筆者在中學(xué)學(xué)科網(wǎng)（網(wǎng)址：http：//www.zxxk.com）上下載的2009年高考試題分類匯編解析，該匯編中給出上述題目如下的解答：

解：（1）略。

（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間上[-1，1]不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f（x）在-1，1既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)，即函數(shù)f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有f（-1）f（1）<0，即：[3+2（1-a）-a（a+2）][3-2（1-a）-a（a+2）]<0整理得，（a=5）（a=1）（a-1）2<0，解得-5

不難看出上述解答過程中出現(xiàn)明顯而又嚴(yán)重的錯(cuò)誤，令人遺憾。

二、剖析

為了剖析該解答過程產(chǎn)生的錯(cuò)誤根源，不妨重新審視零點(diǎn)存在性定理。

零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在（1）區(qū)間[a，b]上的（2）圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有（3）f(a)·f(b)，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。

1．剖析定理中有三個(gè)條件：(1)閉區(qū)間；(2)圖象連續(xù)；（3）端點(diǎn)函數(shù)值異號，這三個(gè)條件缺一不可。缺少條件：不能保證端點(diǎn)函數(shù)值有意義；圖象不連續(xù)，如圖(1)，雖然端點(diǎn)函數(shù)值異號但在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)不存在零點(diǎn)；如圖(2)，函數(shù)不存在零點(diǎn)；圖(3)表示的函數(shù)滿足三個(gè)條件，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)；圖4表示的函數(shù)，動(dòng)態(tài)角度看“b”，有以下事實(shí)：

①滿足定理中三個(gè)條件的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一；

②滿足定理中的條件(1)、(2)而不滿足(3)的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可能有零點(diǎn)；

③零點(diǎn)存在性定理不可逆，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]也有零點(diǎn)，不能推出f(a)·f(b)<0的結(jié)論。

綜上有，若函數(shù)y=f(x)在[a，b]上圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)f(b)<0是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)的充分而不必要條件。

2．剖析解答。上述解答過程中用了零點(diǎn)存在性定理的逆命題，“函數(shù)f(x)在[-1，1]上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，有f（-1）f(1)<0”。事實(shí)如上分析，零點(diǎn)存在性定理是不可逆的，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)，不能推出f(a)·f(b)<0的結(jié)論。因此由f（-1）f(1)<0，求a的值，本末倒置，暴露了缺乏對定理的條件和結(jié)論最本質(zhì)的理解，無疑會產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。從邏輯角度來看，若q的充要條件是q1，或q2，或q3，…那么q1，q2，q3…中的每一個(gè)僅是q的充分而不必要條件。

（1）（2）

（3） （4）

三、參考解答

分析一：我們知道，三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)方法可以徹底解決三次函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，并且有，三次函數(shù)f(x)有極值， 導(dǎo)函數(shù)f(x)的判別式由題設(shè)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)不單調(diào) f(x)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)有極值，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，于是問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的零點(diǎn)（一元二次方程實(shí)數(shù)根）的分布問題，故考慮從導(dǎo)函數(shù)f (x)的判別式“△”人手。

f（ x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）

△=4（1-a）2+12a（a+2）=4（2a+1）2≥0

解法一：當(dāng)a=-時(shí)，△=0，f（x）=3（x+）2≥0 故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，所以z=-不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)a≠-，△=4（2a+1）2 >0，結(jié)合f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=3（x+）（x-a）

可知，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同零點(diǎn)-和a。

方法1：函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)：(1)一個(gè)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，另一個(gè)在（-∞，-1）∪（1，+∞）；(2)兩個(gè)都在區(qū)間(-1，1)內(nèi)；(3)一個(gè)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，另一個(gè)恰好為區(qū)間端點(diǎn)。其

由a≠-及(1)、(2)、(3)得，a的取值范圍為-5

方法2：先求函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都不在區(qū)間[-1，1]內(nèi)時(shí)的取值范圍。

函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都不在區(qū)間(-1，1)內(nèi)，

所以a的取值范圍為-5

方法3：函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)不相等且其中有一個(gè)落在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，即

點(diǎn)評：解法一的著眼點(diǎn)是將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題，以數(shù)形結(jié)合思想為依托，以形助數(shù)使問題獲得解決，其中的方法1，2基于分類與整合思想下全面考慮到兩個(gè)零點(diǎn)所有可能的分布情況；方法3是對兩零點(diǎn)分布情況進(jìn)行優(yōu)化綜合考慮后得到等價(jià)的條件，但這種方法的思維過程有點(diǎn)過于濃縮，要求有良好的抽象概括能力。

分析二：由p：“函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上不單調(diào)”，得-p：“函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)”，于是問題可轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式恒成立問題。

解法二：先求函數(shù)f(x)在[-1，1]上單調(diào)時(shí)，a的取值范圍。

1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈（-1，1)時(shí)，恒有

f（ x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）

顯然，①、③都無解，②a -。

2．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈(-1，1)時(shí)，恒有

因此，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-5，或a=-，或a≥1。所以當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上不單調(diào)時(shí)，a的取值范圍為- 5

點(diǎn)評：1．“已知函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），求某參數(shù)的取值范圍”，它是高考中的一種高頻類題型，其基本方法是轉(zhuǎn)化為“導(dǎo)函數(shù)f(x) a≥0在區(qū)間D上恒成立”。

2．解法二所蘊(yùn)涵的思想實(shí)際上就是補(bǔ)集思想，在解決-p的過程中，主要是利用分類與整合及數(shù)形結(jié)合的思想方法，其中第1種情況解決的著眼點(diǎn)基于含參數(shù)的二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；第2種情況是利用有限與無限的思想轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)函數(shù)值非正即可。

3．由于f(x)= 3x2+2（1-a）x-a（a+2）=3（x+）（x-a），所以也可利用降冪思想，把二次不等式f(x)al≥0和f，(x)al≤0在區(qū)間[-1，1]上恒成立問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一次不等式恒成立問題。

4．點(diǎn)滴感慨：網(wǎng)絡(luò)時(shí)代直接影響和改變了人們的學(xué)習(xí)、工作、生活、休閑等方式，對于教育教學(xué)領(lǐng)域的影響和作用也不例外，網(wǎng)絡(luò)資源豐富到幾乎“有求必應(yīng)”的地步，因此無疑給廣大的師生搭建學(xué)習(xí)、交流與研討的好平臺，也是教育教學(xué)資源的開發(fā)、利用及共享的重要途徑之一。如果商家在為廣大師生不斷提供教育教學(xué)資源之時(shí)，能秉承認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度，嚴(yán)格把好質(zhì)量審核關(guān)，那么我想廣大師生將獲取更多的精品資源，留給人們的就會少些遺憾。以質(zhì)量求生存，以信譽(yù)求發(fā)展是商家經(jīng)營的基本理念和宗旨之一，也是一個(gè)企業(yè)賴以生存、發(fā)展和壯大的必要條件。