Black—Scholes微分方程假設條件分析

摘要：本文首先證明了Black-Scholes微分方程只是含貼現的費曼-卡茨定理的一個特殊形式，含貼現的費曼-卡茨定理是Black-Scholes微分方程的必要條件。然后從含貼現的費曼-卡茨定理出發來研究Black-Scholes微分方程的基本假設條件。

【關鍵詞】Black-Scholes微分方程基本假設條件 含貼現的費曼-卡茨定理

1973年，Black和Scholes基于以下基本假設推導出了基于不支付紅利的股票的歐式看漲期權價格所遵循的偏微分方程：1、股票價格服從幾何布朗運動，且期望收益率和波動率為常數；2、允許使用全部所得賣空衍生證券；3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是高度可分的；4、在衍生證券的有效期內沒有紅利支付；5、不存在無風險套利機會；6、證券交易是連續的；7、無風險利率為常數且對所有到期日都相同。

（1）

在分析Black-Scholes微分方程假設條件之前，我們可以先看下含貼現的費曼-卡茨定理。

含貼現的費曼-卡茨定理：考慮隨機微分方程

（2）

設是博雷爾可測函數，利率是常數，給定，定義函數

（我們假定對于所有的t和x ）

則滿足偏微分方程

（3）

通過比較（1）和（3），我們發現在偏微分方程的表現形式上，差別僅僅在于（1）中，衍生證券價格對基礎資產價格的偏導數系數為無風險利率，而（3）中衍生證券價格相對于基礎資產價格的偏導數系數為基礎資產的收益率。造成這種差別的原因在于：在（1）中，衍生資產價格所服從的隨機過程并不是一個鞅過程，而（3）中衍生證券價格所服從的隨機過程是一個鞅過程。對股票這種需要支付一定成本的基礎資產來說，現實世界中的收益率不管為多少，在風險中性世界里收益率均為無風險收益率。

我們可以通過拉東-尼可迪姆導數來改變這個隨機過程的概率分布函數，在轉換的過程中，波動率并不發生變化，而將收益率由變化為無風險利率，則基礎資產在風險中性世界里所服從的隨機過程就為：

下面，我們以含貼現的費曼-卡茨定理假設出發，來分析Black-Scholes偏微分方程的基本假設條件。

假設1中，我們假定股票價格服從幾何布朗運動，也就是說對股票價格取對數差分后得到的收益率服從正態分布。這里面蘊含的意義包括：1、如果假定股票價格服從正態分布，則該正態分布的期望為0，也即從理論上說股票價格可以取負值，根據股票這個經濟變量的經濟意義，這很顯然是不可能的；2、根據計量經濟學，股票價格序列很顯然是一個非平穩的時間序列。而對于一個非平穩的時間序列來說，我們所估計出的分布參數在經濟學上并無實際意義。3、收益率服從正態分布，這顯然是出于簡化問題的考慮。因為計量經濟學也證明了股票的收益率序列并不服從于正態分布。4、考慮幾何布朗運動，即我們采用的是幾何收益率。幾何收益率對應于金融中的復利，這既符合經濟本質，也在較長的期限內比算術收益率更穩定。

關于假設2，允許使用全部所得賣空衍生證券，這個假設是為了保證在構造一個無風險的組合時，不必使用外幣融資，通過自融資策略即可實施。以無風險利率對投資組合的價值進行貼現，得到的必然是一個鞅過程。這也使得基于不支付紅利的股票的歐式看漲期權與亞式期權等路徑依賴性的期權相區別，因為路徑依賴性的期權要么沒有解析解，要么解析解的形式非常復雜。

關于假設3，沒有交易費用和稅收是為了消除市場摩擦對期權價格的影響。根據分離定理，最優風險證券組合的確定與投資者的風險偏好、效用函數或無差異曲線無關，投資者的投資決策與融資決策無關。

關于假設4，在衍生證券的有效期內沒有紅利支付。根據含貼現的費曼-卡茨定理，此假設并無必要。默頓也指出，只要假定在有效期內紅利是連續支付的，那么可以得到一個連續紅利率。

關于假設5，不存在無風險套利機會，即不存在不承受風險就獲利這樣的投資機會，這也意味著投資者如果期望獲得較高的收益，就必須承擔更大的風險。這就排除了基礎資產價格存在風險但不能進行動態套期保值活動的可能性。

關于假設6，證券交易是連續的，這個假設是有意義的，但根據含貼現的費曼-卡茨定理，這個假設并非必須。證券交易是連續的，那么證券價格所服從的隨機過程更加漸進服從于幾何正態分布，我們也可以更方便應用動態套期保值，使投資組合在一個極短的時間段內處于無風險狀態，從而可以應用風險中性定價理論，而風險中性定價就意味著此時的貼現過程是一個鞅過程。

關于假設7，無風險利率為常數且對所有到期日都相同，根據含貼現的費曼-卡茨定理，此假設也非必須。無風險利率可以不為常數，甚至可以是一個隨機過程，無風險利率對所有到期日都相同在實際中也很難做到。只要滿足以無風險利率對期權價格進行貼現后的隨機過程是一個鞅過程的條件就可以了。

綜上所述，推導Black-Scholes微分方程必須滿足的條件：必須能保證一個由基礎資產和基于該基礎資產的期權組成的自融資投資組合，在進行動態套期保值后幾乎時時處于無風險狀態，處于風險狀態時具有零勒貝格測度，從而保證期權價格以合適的貼現率貼現后所服從的隨機過程必須為一個鞅。

參考文獻

[1]約翰·赫爾.期權、期貨和其他衍生工具（第三版）[M] .北京：清華大學出版社.

[2]史蒂文·E·施里夫.金融隨機分析（第二卷）[M] .上海：上海財經大學出版社，2008.

[3]邵宇.微觀金融學及其數學基礎[M] .北京：清華大學出版社，2003.

作者簡介：李國勇（1978-），男，河南省西峽縣人，任職于西藏大學財經學院，研究方向：資產定價。

（責任編輯：劉晶晶）