基于VaR技術的金融風險管理中的風險評估

孫廣彪 鄭軍

【摘 要】 金融風險管理者最關注的是VaR技術的精度，目的就是通過構造VaR的置信區間和期望損失預測來評估常見的動態模型的精度，并量化誤差的大小。要構造合適的置信區間，關鍵問題在于解決投資收益條件方差的動態行為。文章通過構造VaR的預測區間和期望損失來評估常見的動態模型的精度，并量化誤差的大小，通過Monte Carlo方法來提供定量依據。它不僅可以作為金融機構評估和管理個別資產或資產組合市場風險的工具，而且可以作為金融監管部門監管金融機構和評估市場風險的重要手段。

【關鍵詞】 金融風險； 管理； VaR； 評估

一、關于VaR的介紹

風險價值模型（Value—at—Risk，VaR）是近年發展起來的用于測量和控制金融風險的量化模型。VaR技術越來越廣泛地用于投資組合風險計量、風險資本配置和績效評價。金融風險管理者當然最關注VaR技術的精確度。

VaR從統計的意義上講，本身是個數字，是指面臨“正常”的市場波動時“處于風險狀態的價值”。即在給定的置信水平（通常是1%或5%）和一定的持有期限內（通常是一天或一周），預期的最大損失量（可以是絕對值，也可以是相對值）。期望損失（Expected Shortfall，ES）指位于超出VaR損失的條件期望。VaR技術在度量尾部風險時是無用的，誤差較大。

本文寫作目的有兩方面：一是評估計算VaR和ES中產生的潛在損失；二是通過VaR和ES的置信區間來量化誤差的嚴重性。

Jorion和Pritsker考慮過VaR風險值的估計。但構造合適的VaR和ES的置信區間，關鍵問題在于解決投資收益條件方差的動態行為，本文將運用著名的GARCH模型來量化這些動態行為。GARCH模型適用于波動性的分析和預測，已經成為金融風險管理中的主力，在GARCH—VaR模型和ES預測中很少產生參數估計錯誤。

Pascual，Romo和Ruiz利用GARCH產生的時間序列獲得預測密度，提出了一個新的Bootstrap重采樣技術。本文發展了該重采樣技術，提出的重采樣技術相對來說更容易實現，并可擴展到多元風險模型。

二、模型的構建和風險措施

本文對一個給定的金融資產或投資組合建立每日損失（負回報）的動態模型：

Lt=σtεt，t=1，…，T （1）

其中，εt是獨立同分布的，均值為0，方差為1，分布函數為G。這里考慮G為標準的Students t分布，自由度為d。■εt～t（d）為模擬波動動態，使用對稱的GARCH（1，1）模型，σ■■=ω+αL■■+βσ■■，其中α+β<1。需要說明的是，本文方法適用于更復雜的σ■■模型和其他εt分布。

本文關注損失分布的尾部情形，為此考慮兩個主流的風險措施：VaR技術和期望損失ES。前者簡單說就是損失分布的條件分位數，后者是超過VaR的那部分損失的期望。

已知T時期信息情況下，VaR以覆蓋率p度量T+1時期，用VaR■■表示這個正值：

Pr（LT+1>VaR■■■F■）=p （2）

這里FT表示在時間T可用的信息；p通常是一個小數字，如p=0.01或p=0.05。

類似，已知T時期信息情況下，ES以覆蓋率p度量T+1時期，用ES■■表示這個正值：

ES■■=E（LT+1■LT+1>VaR■■，FT） （3）

給定模型（1），可以得到VaR■■和ES■■的簡化的表達式：

VaR■■=σT+1G■■≡σT+1c1，p （4）

其中，G■■表示G的（1—p）分位數、標準損失分布εt=Lt/σt，σT+1是T+1時期的條件波動。例如，若G是標準正態分布Φ，p=0.05，則G■■=Φ■■=1.645，從而有VaR■■=1.645σT+1。在一般情況下，當ε～G，方程（4）表明，可以將VaR■■表示為σT+1和常數c1，p=G■■的乘積，其值取決于G和p。

類似地，給定模型（1）：

ES■■=σT+1E（ε■ε>G■■）

≡σT+1c2，p（5）

其中，ε是獨立同分布的隨機變量，均值為0，方差為1，分布函數為G。若ε～N（0，1），則對任意常數a，有E（ε■ε>a）=■，其中φ和Φ表示標準正態隨機變量的密度函數和分布函數。此時有ES■■=σT+1■和c2，p

≡■。若ε服從標準的Students t分布，自由度為d，則c2，p由不同公式給出。為描述這個公式，令td服從標準的Students t分布，自由度為d，Andreev和Kanto給出，對任何常數a，有E（td■td>a）=（1+■）■■，其中f和F表示td的概率密度和累積密度函數。于是有：

c2，p≡E（ε■ε>G■■）=1+（■G■■）2/d■■■

其中，G■■是ε分布的（1—p）分位數。特別地，G■■=■t■■，其中t■■是td分布的（1—p）分位數。

實際上，無法計算VaR■■和ES■■的真實值，因為它們依賴于數據生成的過程（也就是說，它們依賴于G和條件方差模型σ■■）。因此，需要估計它們，從而估計風險。本文的最終目標就是要通過建立置信區間（或預測區間）來量化風險估計。

三、蒙特卡羅的結果

對GARCH方差預測，雖然可以考慮利用逼近思想例如三角方法來計算預測區間，但是在筆者所考慮的非參數模型中并不能直接計算VaR和ES的預測區間，甚至在參數情況下，這種三角逼近的方法也有可能比重采樣方法差。下面通過構造VaR的預測區間和期望損失ES來評估常見的動態模型的精度，并量化誤差的大小。通過蒙特卡羅（Monte Carlo）方法來提供定量依據，重點是GARCH模型下的時間變異風險的實際情況。

本文考慮三種不同的估計方法：

一是歷史模擬法（Historical Simulation）：下面稱為HS法，它利用損失的經驗分布來計算VaR和ES。

二是正態條件分布（Normal Conditional Distribution）：下面稱為Normal法。

三是極值理論中的Hill估計方法（The Hill's estimates）：下面稱為Hill法。

（一）GARCH損失情況

現在考慮GARCH—t（d）數據生成過程（DGP）的四種情況。設α=0.10，ω=（202/252）*（1—α—β）。因此，無條件波動為每年20%。選擇如下四個參數：

1.Benchmark參數：β=0.80，d=8；

2.High Persistence參數：β=0.89，d=8；

3.Low Persistence參數：β=0.40，d=8；

4.Normal Distribution參數：β=0.80，d=500。

在Hill估計極值分布前，需要選擇一個截止點Tu，它定義了要估計的尾部指數參數極值的子樣本。為了挑選這個重要參數，從上述四個DGP參數來進行Monte Carlo模擬實驗，估計尾部指數的臨界值，并最終計算出為期一天的VaR和ES預測的結果偏差和均方根誤差（RMSE）。圖1和圖2顯示500和1 000的樣本估計總體的情況。

在這兩種情況下，選擇截斷點要符合極值子樣本的0.5%至10%的最大損失。圖1和圖2 的橫軸表示極值觀察量（超出500和1 000的數量），縱軸表示偏差和均方根誤差（RMSE）。從減少均方根誤差以實現偏差接近于零的角度來看，對這四個DGP，不管是VaR還是ES，2%的截止是合理的。

表1—表4給出了對應上述四個DGP的蒙特卡羅結果。表1—表4的上半部分計算VaR，下半部分計算ES。表的左側給出了相應風險的點估計，右側給出了基于Bootstrap法的VaR區間估計。對VaR和ES預測，考慮兩個估計樣本大小，T = {500，1 000}。在這些實驗中，點估計進行100 000次Monte Carlo計算。對Bootstrap置信區間，只進行5 000次Monte Carlo計算，每次帶有999次Bootstrap復制。

（二）VaR與ES的點預測

本文主要目的是給出VaR和ES的有限樣本的置信區間，首先來考慮各種模型準確預測風險的能力。VaR和ES的點預測結果見表1—表4左側的偏差和均方根誤差。

1.Benchmark參數情況

表1頂部給出樣本大小為T=500時，Benchmark DGP的VaR的結果。

首先考慮VaR估計的偏差，主要注意的是HS的向上偏差和Normal的向下偏差。后者是可以預料的，正態分布的尾部相對于1%的覆蓋率的確太小了，其他顯示的偏差都很小。對VaR估計的均方根誤差，HS最高且遠遠高于其他，而Hill要低得多。Normal的均方根誤差也比較低，如前所述，它有相當大的偏差。當增加樣本大小為1 000，表1顯示一般偏差變小；HS仍向上偏差，Normal仍向下偏差。在均方根誤差方面，Hill表現非常好。

下面來看ES點預測。可以發現Normal有非常大的向下偏差。與VaR結果進行比較，各種ES估計模型都有更大的均方根誤差。均方根誤差的增加部分緣于偏差的增加。

2.High Persistence參數情況

表2的上半部給出High Persistence的DGP的VaR結果。可以看到，結果類似于表1，但HS卻不同，HS現在偏差更大，均方根誤差已超過VaR真實值的50%，近似為2.71。Hill再次表現非常好。

表2的下半部給出High Persistence的DGP的ES結果。可以看到，結果類似于表1，但HS不同。HS的偏差和均方根誤差都很大。

3.Low Persistence參數情況

表3的上半部給出Low Persistence的DGP的VaR結果。HS現在表現不錯，Hill再次表現非常好。

表3的下半部給出Low Persistence的DGP的ES結果。HS現在表現不錯。

4.Conditional Normal情況

表4的上半部給出Normal的DGP的VaR結果。和表1中相比，偏差和均方根誤差都相當小。HS仍舊表現較差，Normal表現非常好，Hill一直表現較好。

表4的下半部給出Normal的DGP的ES結果。和表1中相比，偏差和均方根誤差都相當小。ES模型的偏差和均方根誤差均與表4中VaR結果的偏差和均方根誤差相近。

（三）VaR和ES的Bootstrap預測區間

上面討論VaR和ES點預測的精度。現在討論VaR和ES的Bootstrap預測區間。也就是說，下面要評估各種方法的Bootstrap預測區間的能力。預測區間的結果在每個表的右側，給出了真實覆蓋率、置信區間的平均限值、置信區間平均寬度相對于VaR點預測的百分比。

1.Benchmark參數情況

再看表1頂部，相對于90%的覆蓋率而言，HS的覆蓋率非常低。此外，平均置信區間很寬。HS方法忽略了DGP在覆蓋率和寬度方面的動態。

在VaR方面，Normal與HS一樣不好，但Normal有更小的寬度。不幸的是Normal覆蓋率又過小。當增加樣本大小為1 000，HS覆蓋率變差。Normal覆蓋率變差，寬度較好。Hill有較好的覆蓋率和寬度。

下面來看ES的Bootstrap預測區間。可以發現HS有較低的覆蓋率，置信區間很寬。Hill有最好的覆蓋率但是又很寬。

從表1整體來看，Hill覆蓋率較好，而HS、Normal的覆蓋率差。Hill比較可取，一般來說它ES的覆蓋率比VaR的覆蓋率要差點。

2.High Persistence參數情況

先看表2上部的VaR結果。相較于表2中的Benchmark情況，HS覆蓋率變差（低），寬度變差（寬）。Normal覆蓋率更好。

表2底部的ES的結果。比較表3中的VaR和ES的結果，可以看到ES比VaR的覆蓋率通常是更糟的。與表1中Benchmark情況的ES比較，HS覆蓋率更糟糕且寬度更差。Normal仍然覆蓋率很差。Hill有更好的覆蓋率但區間更寬。

3.Low Persistence參數情況

表3上部右側為VaR結果。HS模型具有更好的覆蓋率和稍好的寬度。Normal覆蓋率變差但寬度更好。Hill覆蓋率相近且寬度比以前更好。

表3下部為ES結果。HS表現更好。

4.Conditional Normal情況

比較表4和表1中的VaR，HS覆蓋率變差但寬度比以前低。Normal覆蓋率和寬度均更好。Hill寬度比以前更好。Hill模型比較可行。

表4下部為ES結果。此時覆蓋率一般都變好。HS和Normal比其他表現要差。Normal覆蓋率很好。

（四）結果概述

根據表1—表4的結果，可以得出結論，對VaR和ES估計，HS不僅在點估計方面差，而且有很差的置信區間，即使在波動的持久程度相對溫和時也是如此；Normal當正態假設接近真實時當然表現很好，否則就不行了。Hill的表現相當不錯，即使在有條件的正態分布。

一般情況下，計算ES的均方根誤差相比于VaR的均方根誤差要高得多（相對真實值）。因此，雖然在理論上ES會傳達更多的損失分布的尾部信息，但它難以準確估計。當討論兩個風險措施的優點時要考慮這一點。

不幸的是，相較于VaR而言，很難在事前評估ES的準確度。

當Hill為VaR點估計90%的置信區間提供相當可靠的覆蓋率，但ES相應的覆蓋率通常遠低于90%，因此是不可靠的。從一個保守風險管理者的角度來說，過度覆蓋不如低覆蓋。

四、結論

風險管理者和投資組合管理者躑躅于VaR估計的精度。量化點估計的精度可以使風險管理者做出更明智的決策。需要指出的是VaR 技術是一種非常復雜的方法，VaR計算方法的選用以及歷史數據的處理方式等都將顯著地影響到決策過程的復雜程度和最終的精度。本文采用VaR技術可以對選定的財務風險措施進行預測與分析，在今后的研究與實踐中，還需進一步將其他風險估計法的優點綜合于VaR估計技術中。●

【參考文獻】

[1] A Review of Financial Market Events in Autumn 1998：BIS Committee on the Global Financial System.BIS，Basel，1999c，October.

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[3] Pritsker，M.Towards Assessing the Magnitude of Value—at—Risk Errors Due to Erros in the Correlation Matrix[J].Financial Engineering News，1997（10/11）.

[4] Pascual，L.，Romo，J.，and Ruiz，E.Forecasting Returns and Volatilities in GARCH Processes Using the Bootstrap，manuscript，Departamento de Estadistica y Econometria，Universidad Carlos III de Madrid，2001.

[5] Andreev，A.，and Kanto，A.Conditional Value—at—Risk estimation using non—integer degrees of freedom of Students t—distribution，forthcoming[J].Journal of Risk，2004.