從概念的本質來理解概念的內涵與外延

顧筠筠

善于解剖概念，強調概念中的關鍵詞語，從中透徹理解其內涵——概念中對象的本質屬性，它是概念質的方面，以及其外延——概念的適應范圍，它是概念的量的方面.

幾何概型是中學數學在概率部分新增的內容，怎樣深刻理解幾何概型的內涵，使解幾何概型問題正確化與簡單化，從而不致引入誤區？幾何概型在蘇教版《數學3》（必修）第101頁上作了詳細的定義，據此，幾何概型的內涵是事件的等可能性和無限性，筆者認為這里的“等可能性”是指基本事件出現的機會可能性相等，“無限性”是指基本事件有無限多個，它并不是解決幾

何概型問題的關鍵，而主要是用來判斷該事件到底是幾何概型還是古典概型.同時在蘇教版《數學3》（必修）第104頁中指出：“由此可見，背景相似的問題，當等可能的角度不同時，其概率是不一樣的.”話雖然不錯，但給人的感覺好像是解決幾何概型問題要從基本事件出現等可能的角度去解決.我認為這是完全沒有必要的，可以說是把一個簡單問題復雜化，將解決幾何概型問題引入誤區，解決幾何概型問題關鍵仍然是抓好“事件”并將其“幾何化”，這就是概念的本質.先來看蘇教版《數學3》（必修）第102頁例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.這里的一個基本事件是在斜邊AB上取一個點M，它符合幾何概型定義，所以區域D是線段AB，其測度為線段AB的長度，區域d為線段AC′（AC′=AC），其測度為AC′的長度，所以該事件的概率為2[]2.

下面看蘇教版《數學3》（必修）第104頁第6題：如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

應用一個新的定義去解決問題時，只要抓住定義的本質，弄清它的內涵及外延，深刻理解定義中每句話的含義，對難理解的語句，可以通過實例不斷幫助學生理解.如幾何概型定義“……事件A發生的概率與區域d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀和位置無關……”，這里的“與形狀和位置無關”，學生不易理解，我們可以舉下面的例題：甲乙兩人各自在田徑場上400米長的跑道上跑步，求在任一時刻兩人在跑道上相距不超過50米（彎道時指跑道上曲線長度）的概率.很顯然這是一個幾何概型問題，一個基本事件是甲乙兩人在跑道上的位置，記“兩人在跑道上的距離不大于50米”的事件為A，而事件A發生是甲乙兩人在跑道上的距離差不超過50米，可作如下兩種角度思考：思考一，先假設甲在跑道上C處（C的位置是任意的），如圖1，

事件A發生，乙只要在甲前后50米之內，這種思考方法D的測度為400米，d的測度為100米，∴P（A）=1[]4.思考二，為方便計算甲乙之間的距離，我們不妨以跑道上O為起點，與O逆時針方向計算距離，設甲與O的距離為x米，乙與O的距離為y米，事件A發生就是x，y滿足

如圖2.這種思考方法是將區域D視為正方形，測度是正方形的面積4002 m2，而事件A發生是指落在滿足條件不等式組（1）或（2）的區域d內，由線性規劃知識，易知區域d是圖中陰影部分，其測度為（4002-3502+502）m2，∴P（A）=4002-3502+502[]4002=1[]4.

上面的兩個思考方法說明解決同一個幾何概型問題，思考角度不同，區域D（d）也會有所不同，從而說明事件發生的概率與d的形狀和位置無關，只與d的測度成正比.

聯想、思考：進入新課程，對概念教學還采用老的“一個定義，幾項注意”的方式是很不夠的，應給學生提供充分的概括本質特征的機會，明確概念所反映的對象具有什么本質特征，只有對概念的內涵和外延都有了準確的了解，才能說明已經明確了概念.當然一個概念的學習，對概念的理解與掌握，還需在概念課的后繼課中不斷反復應用，不斷加深理解，從根本上改變概念課教學中“單調乏味”及“死記硬背”的錯誤傾向，引導學生自主發現，歸納總結，正如波利亞指出的“學習最好的途徑是自己去發現”.只有這樣，才能使學生分析問題和解決問題的能力不斷提高.