基于APOS理論下“直線與平面平行”的教學設計

彭春蓮

一、APOS理論簡介

APOS理論是美國教育家杜賓斯基提出的數學學習理論，APOS是英文單詞action（活動）、process（過程）、object（對象）、scheme（圖式）的第一個字母的組合，表示概念學習過程的每一個階段.

二、基于APOS理論下“直線與平面平行”的教學設計

學生是學習和發展的主體，教師是教學活動的組織者和引導者.為了把發現創造的機會還給學生，把成功的體驗讓給學生，采用APOS理論引導發現，激發學生學習的積極性和創造性，分享探索知識的樂趣，使數學教學變成再發現、再創造的過程.本節內容與學生學習的生活聯系緊密，學習時，一方面引導學生從實際生活出發，把知識與周圍的事物聯系起來；另一方面，引導學生從現實的生活中抽象出空間圖形，注重引導學生通過觀察、操作、思考和推理等活動，引導學生借助圖形直觀來探索直線、平面平行的性質及其證明.

（一）活動階段

通過實例讓學生對直線和平面平行在現實生活中的應用有個感性認識.

1.創設情景，提出問題

利用幻燈片給出熟悉的圖片：（1）運動場上的跑道；（2）學校的旗桿；（3）運動場上的單杠.觀察它們和平面的關系.

點評 學生在學習新的數學概念的時候，新的信息對學生來講基本上是陌生的、零碎的和彼此孤立的，需要教師選擇能作為新知識的生長點，將新知識的各因素聯系起來，并以最好的方式呈現給學生，通過激發，激活學生頭腦的舊知識，調動學生主動學習發現的心理傾向，使得學生對新知識內容先有個感性認識.

（二）過程階段

通過分析實例，把具體實例抽象成數學問題，具體到普遍性，引導學生對直線和平面平行由感性認識升華到對數學理論知識的理解.

2.觀察歸納，形成新知

把地面抽象成平面，把“跑道”“旗桿”“單杠”抽象成直線，觀察直線與平面的交點個數.從直線和平面的公共點個數歸納出直線和平面有三種位置關系：直線在平面內、直線和平面相交、直線和平面平行.用圖形語言和符號語言來表示直線和平面平行的三種位置關系.

點評 教師通過實際例子抽象成數學問題（數形結合問題），引發學生思考，將學生帶入發現新概念的最近發展區，使他們對直線和平面平行的定義有個粗略的認識，為下一步介紹直線和平面平行的判定埋下伏筆.

（三）對象階段

通過數形結合，逐層剖析直線和平面平行的定義，讓學生從圖形上記憶理解直線和平面平行的定義，從而達到真正認識直線和平面平行的實質是什么，為直線和平面平行的判定埋下伏筆.

我們把第三個問題抽象成數學問題就會得到直線和平面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.下面證明之成立：

已知：lう粒琺雞粒琹∥m，求證：l∥α.

證明 （用反證法）假設l不平行于平面α，則l∩α=P，如果點P∈m，則與已知條件l∥m矛盾；如果點p黰，則l和m成異面直線，這也與已知條件l∥m矛盾.

上面定理可以簡稱為：線線平行，則線面平行.

3.概念辨析，鞏固練習

設計意圖：幫助學生加深對直線和平面平行判定定理的理解.得到滿足的三個條件缺一不可.

練習：

已知：空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點.求證：EF∥平面BCD.

師：要證明EF∥平面BCD，只需要證明什么就可以了呢？生：只需要證明EF和平面BCD內的一條直線平行就可以了.師：依據是什么？生：線面平行的判定定理.師：能找到這條線了嗎？生：可以，線EF就是.師：為什么？生：因為E，F分別為AB，AD的中點，由中位線的性質可得.師：要用上這個定理，還需要說明什么？生：要說明線EF是面外的線.師：能否把這個證明過程寫出來？生：可以.∵E，F為AB，AD的中點，∴EFっ鍮CD且EF∥BD，又BD濟鍮CD，故EF∥平面BCD.

點評 通過一問一答的形式激發學生加深對直線與平面平行的判定的初步認識，培養他們新知識的發現能力.

（四）圖式階段

通過前三個階段，學生對直線和平面平行有了一定的理解；本階段即讓學生知道本課主要學習內容是什么，如何應用來解決實際問題，這節課我們學到了哪些知識.

應用：如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′B′C′D′.

（1）要經過面A′B′C′D′內的一點P和棱BC將木料鋸開，應該怎樣畫線？

（2）所畫的線和平面ABCD是什么位置關系？

解 略.

點評 本例題是一道實際生活應用題，通過本題可以讓學生體會到數學知識在實踐中的應用的優越，達到培養學生數學知識的應用能力，激發學生學習數學的興趣.

（五）課堂小結，完善認知

本課有何收獲？學習了直線和平面平行的性質定理由“線面平行”蕁跋呦咂叫小保判定定理是由“線線平行”蕁跋咼嫫叫小.

（六）教學反思

教師指導學生反思：我們本堂課主要學習了什么內容？體現了數學的什么思想？運用直線與平面平行可以解決什么樣的實際問題？有什么收獲？

點評 通過師生共同反思，其目的是為了更好地促進新舊知識之間的聯系，使得新知識與學生頭腦中原有的舊知識建立邏輯性的穩固聯系，從而形成新的認知結構.學生通過反思，不僅可以梳理在學習過程中對概念的理解程度，還可以評價自己在認知加工過程中所閃現出的思維火花.