從“草船借箭”的典故中看構造法在數學解題中的應用

趙偉紅

【摘要】古代軍事家諸葛亮巧妙地利用了“草船借箭”來獲取了足夠的箭支來滿足己方的戰時需求.在這個典故中，實際上是利用了數學中的構造法在解決實際問題上的一個應用.構造法作為一種重要的數學方法，在數學解題中有著特殊的地位和作用.其策略具有非常規性，方法帶有試探性，思維富有創造性.

【關鍵詞】構造法；解數學題；構造

讀過古典名著《三國演義》的人都知道“草船借箭”的故事.“草船借箭”解釋為運用智謀，憑借他人的人力或財力來達到自己的目的.軍事家諸葛亮巧妙地運用了“草船借箭”來獲取了足夠的箭支以滿足己方的戰時需求.這實際上也是數學中的構造法在解決實際問題上的一個典型事例應用.諸葛亮能夠根據所需箭支的數量，充分分析當時的天氣變化，制定所需船只的多少來達到既定的箭支“制造”數量，從而來滿足既定的作戰需求.所謂構造法是數學中的一種重要思想方法，它在數學解題中被廣泛運用.其原理是通過對問題的觀察、分析，抓住特征，聯想熟知的數學模型，然后變換命題，恰當地構造新的模型來達到解題目的的方法.

構造法的核心是構造，突破是創新，思維是轉換.而且它具有下述特點：在構造思維過程中，一般要伴有觀察、分析、聯想、猜測等活動而進行；構造性思維不僅僅體現在解決問題的全過程中，而且體現在解決問題的關鍵環節和步驟中；在構造的思路上，必須在有限的步驟內能具體實現.在應用構造性思維時，一是需要有扎實的基礎知識和創造性思維的品質；二是要有明確目的，即需要構造的是什么；三是弄清楚題設條件和結論特點，以便構造具體方案.下面筆者通過對幾道典型試題分析來介紹如何應用構造法進行適合題意的構造.

例1 證明存在兩個無理數x，y，使得xy是有理數.

這是一道莫斯科數學競賽的培訓題.教師的思路應該是：令x=2，y=2.若22是有理數，則問題已得解決；若22是無理數，則222=（2）2=2是有理數.因此，一定存在這樣的兩個無理數x，y，使得xy是有理數.從而問題得證.

上面的證明雖然流暢，但也存在一點瑕疵，并沒有具體指出哪兩個無理數具有這種性質.我們不妨構造出下面兩個無理數.x=3，y=log316是兩個無理數，而xy=3log316=4是有理數.這就更具體直觀了.

例2 世界上任意6個人中至少存在3個人或是互不認識或是互相認識.

這就是著名的拉姆賽（Ramsey）問題.

分析 此題運用抽屜原理即鴿巢原理.要構造“抽屜”，首先要確定應對哪些元素進行分類，然后再找出分類的規律.此題中的6個人是任意的，就像“鴿子”，他們的區別只在于認識或不認識這兩種關系，故可以構造“鴿巢”（抽屜）.注意到對于6個人中的任何一個人A來說，除A以外的5個人可分為兩類，一類是與A認識的人，另一類是與A不認識的人.如用E來表示其余5個人中與A認識的人的集合，用F表示其余5個人中與A不認識的人的集合，得抽屜E，F，再利用抽屜原理來證明.

證明 設其余5個人中與A認識的人組成的集合為E，與A不認識的人組成的集合為F.根據抽屜原理，E，F中至少有一個集合有3個人，不妨設為E.若E中的3個人B，C，D彼此不認識，則命題為真；否則有2個人互相認識，不妨設為B，C，則連同A有3個人互相認識，則命題也真.如果F中有3個人，設為L，M，N.若他們互相認識，則命題為真；否則有2個人互不認識，設為L，M，連同A有3個人互不認識，則命題也真.

說明 拉姆賽問題是一個很重要的命題，一些存在性問題都可以利用它得以解決.在整個問題的處理上構造抽屜顯得尤為重要，在此過程中構造要以解題者所掌握的知識為背景，以所具備的能力為基礎.通過仔細觀察、分析、發現問題中各個環節與其中的聯系，從而為尋求目標創造條件.

總之，運用構造法解題，可以使各種數學知識相互聯系相互滲透，有利于問題的解決.構造法體現了數學發現的思維特點，它作為一種數學方法，不同于一般的邏輯方法，它屬于非常規思維，而且在學習研究的過程中注意對學生多元化及創新思維的培養，使學生體會知識間的聯系和轉化，能創造性地巧妙地解決問題，從而獲得學習的成功感和愉悅感.