一元二次不等式恒成立問題解決方法的選擇與應(yīng)用

錢敏

一元二次不等式在高考中達(dá)到C等級(jí)，要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.其中一元二次不等式恒成立問題貫穿函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式，綜合性較強(qiáng)，方法靈活，是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn).本文就已知一元二次不等式恒成立求其中參數(shù)的取值范圍的題型，以2012年高考題為引例，具體說(shuō)明該題型的幾種常用形式及方法的選擇與應(yīng)用.

一元二次不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍的題型常見的解決方法有兩類，一是把一元二次不等式與對(duì)應(yīng)二次函數(shù)相聯(lián)系求解，二是分離出其中的參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題求解.下面就這兩類方法來(lái)具體說(shuō)明.

題型一 一元二次不等式在R上恒成立問題，求參數(shù)取值范圍

例1 （2012年福建高考（文））已知關(guān)于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

分析

方法1 與二次函數(shù)相聯(lián)系.

（1）與二次函數(shù)y=x2-ax+2a圖像相聯(lián)系理解題意，該二次函數(shù)已確定圖像開口是向上的，不等式大于0，即告訴我們要的是拋物線上y>0的點(diǎn)，x∈R即告訴我們所有點(diǎn)的x，合在一起理解即為拋物線上所有點(diǎn)的y都大于零，由此題意思考得出此拋物線開口向上與x軸無(wú)交點(diǎn)，即Δ<0，計(jì)算a2-4·2a<0，得出0

（2）與二次函數(shù)y=x2-ax+2a的最值相聯(lián)系理解題意，關(guān)于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，即二次函數(shù)y=x2-ax+2a的最小值要比0大，由此先得出二次函數(shù)y=x2-ax+2a的最小值是頂點(diǎn)處的y即8a-a2[]4>0，同樣得出0

方法2 分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題.

x2-ax+2a>0也可轉(zhuǎn)化為a（x-2）2，

a>x2[]x-2，x<2，

a∈R，x=2.

最后通過(guò)求x2[]x-2的最值得出a的范圍.x>2時(shí)，x2[]x-2≥8，由此得出a<8；x<2時(shí)，x2[]x-2≤0，由此得出a>0；又x=2時(shí)，a∈R.綜合得出0

這里由于最后轉(zhuǎn)化為求最值問題，則要求學(xué)生對(duì)于求最值的幾種常見方法較為熟悉.如基本不等式求最值、利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性求最值等.

這道高考題可運(yùn)用多種方法來(lái)解決，就以上兩類方法來(lái)看，可發(fā)現(xiàn)這道題運(yùn)用第一類的方法解決較為簡(jiǎn)便，第二類方法由于此題x∈R對(duì)于轉(zhuǎn)化式中的分母要分情況討論，則相對(duì)于第一類方法略為復(fù)雜了.教會(huì)學(xué)生在高考中就同一題目怎樣選擇較為簡(jiǎn)易適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，至關(guān)重要.

高考原題變形 已知關(guān)于x的不等式x2-ax+2a≤0的解集為В求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 變形后的題目理解對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比原題稍難一點(diǎn)，這要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言有一定的理解能力.通過(guò)細(xì)細(xì)讀題，慢慢分析，就可發(fā)現(xiàn)變形后的題目與原高考題是同一意思.首先要理解解集為空集是何含義：空集即沒有，不存在的意思，沒有x滿足不等式x2-ax+2a≤0，那x滿足什么呢？即所有的x都應(yīng)滿足不等式x2-ax+2a>0.由此，原題可轉(zhuǎn)化為不等式x2-ax+2a>0在x∈R上恒成立，求a的取值范圍.

高考原題改編題 已知關(guān)于x的不等式ax2-ax+2≥0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

分析 該題不再是單一的一元二次不等式恒成立的問題了，由于x2前的系數(shù)a不明確是否不為0，因而要分情況分析了.a=0時(shí)，非一元二次不等式，此時(shí)題意是否滿足；a≠0時(shí)，是一元二次不等式，此時(shí)才能運(yùn)用解決該題型的兩類方法.就一元二次不等式而言，改編后的題并不明確其圖像的開口方向，如要與二次函數(shù)圖像相聯(lián)系，應(yīng)根據(jù)題意明確開口方向及與x軸交點(diǎn)的情況，通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)其開口也應(yīng)是向上的且Δ≤0.在該題中，學(xué)生易犯兩點(diǎn)錯(cuò)誤：（1）不考慮非一元二次不等式的情況.（2）對(duì)于一元二次不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像不具體分析其開口和與x軸交點(diǎn)情況，僅記憶Δ<0.針對(duì)這兩點(diǎn)，教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)注意增加學(xué)生自我分析題意的機(jī)會(huì)，提高學(xué)生理解分析題意的能力.

題型二 一元二次不等式在指定區(qū)間上恒成立問題

例2 （2012年上海高考（春））若不等式x2-kx+k-1>0對(duì)x∈（1，2）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.

分析 本題雖對(duì)x的范圍有所要求，但兩類方法同樣都適用，只是簡(jiǎn)易程度各有不同.

方法1 與二次函數(shù)的圖像相聯(lián)系，這里即指開口向上的拋物線y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）上的點(diǎn)的y均要大于0，先進(jìn)行計(jì)算發(fā)現(xiàn)Δ≥0，對(duì)稱軸x=k[]2，再進(jìn)行計(jì)算發(fā)現(xiàn)f（1）=0，由此圖形應(yīng)是下列兩種Δ>0和Δ=0的情況，經(jīng)過(guò)多次圖像分析得出對(duì)稱軸x=k[]2≤1，由此計(jì)算出k≤2.

也可以與二次函數(shù)的最值相聯(lián)系，即根據(jù)題意二次函數(shù)y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）的最小值應(yīng)大于0，由于這里給出了x的范圍，因此求最值時(shí)應(yīng)就對(duì)稱軸是否在區(qū)間范圍內(nèi)進(jìn)行討論.

方法2 參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為最值問題，則不需要過(guò)多的計(jì)算和分類討論了.x2-kx+k-1>0可轉(zhuǎn)化為（1-x）k>1-x2，由于這里給出了x的范圍，因此可直接得出k<1+x，直接可由1+x的最值得出k的范圍.由于x∈（1，2），所以1+x>2，因此k≤2.

通過(guò)兩類方法的比較可以發(fā)現(xiàn)本題運(yùn)用第一類方法與二次函數(shù)相聯(lián)系時(shí)，需要經(jīng)過(guò)多次計(jì)算才能得出符合題意情況相較第二類方法稍嫌繁雜.

通過(guò)例1、例2的分析，可以發(fā)現(xiàn)一元二次不等式在R上恒成立，求參數(shù)取值范圍的題型我們可以優(yōu)先考慮用第一類方法來(lái)解決，這樣一般計(jì)算量較少，分析較為簡(jiǎn)單；而一元二次不等式在指定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)取值范圍的題型我們則可以優(yōu)先考慮用第二類方法來(lái)解決會(huì)較為簡(jiǎn)便.當(dāng)然，這也不是一成不變的.

在平時(shí)課堂中，作為教師要多給學(xué)生機(jī)會(huì)獨(dú)立思考，獨(dú)立做題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立反思的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解能力、數(shù)形結(jié)合能力、邏輯分析能力、方法篩選能力，讓學(xué)生不僅獲得某種題型的解決方法，更是獲得解決問題的一種思維方式.