數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用

熊進(jìn)

一、數(shù)學(xué)歸納法概析

隨著近幾年考試命題對(duì)于考查學(xué)生的探索和歸納問(wèn)題的能力的側(cè)重，很多的考試題目開始廣泛出現(xiàn)了利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行不等式證明的應(yīng)用.所謂數(shù)學(xué)歸納法，是用來(lái)證明和自然數(shù)有關(guān)系的命題的一種特殊技巧和方法，主要用來(lái)探討與正整數(shù)有關(guān)的一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題，在高考試題和數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中應(yīng)用非常頻繁和廣泛.數(shù)學(xué)歸納法的歷史非常悠久，早在1575年就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)家巧妙地利用遞推關(guān)系證明出了前n個(gè)奇數(shù)的總和為n2，以此成功地總結(jié)出了數(shù)學(xué)歸納法的證明.數(shù)學(xué)歸納法總結(jié)起來(lái)有四種，分別是第一類數(shù)學(xué)歸納法、第二類數(shù)學(xué)歸納法、倒退歸納法（反向歸納法）以及螺旋式歸納法.最常見并且最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明當(dāng)n隸屬于全部的正整數(shù)時(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式是否成立，主要由兩個(gè)步驟組成：進(jìn)行遞推的基礎(chǔ)條件是證明當(dāng)n為1時(shí)所要證明的數(shù)學(xué)表達(dá)式成立，進(jìn)行遞推的依據(jù)是證明假如n為正整數(shù)m時(shí)數(shù)學(xué)表達(dá)式成立，那么當(dāng)n為m+1時(shí)數(shù)學(xué)表達(dá)式同樣成立.此方法包含的原理是由第一步的遞推基礎(chǔ)證明起始數(shù)值在數(shù)學(xué)表達(dá)式中能夠成立，然后證明從一個(gè)數(shù)值到另一個(gè)數(shù)值的證明過(guò)程是有效的，那么任意一個(gè)數(shù)值的證明都可以包括在這種不斷重復(fù)的證明過(guò)程中.將這種方法類比于多米諾效應(yīng)理解起來(lái)更容易：對(duì)于一排直立著的很長(zhǎng)的多米諾骨牌，如果可以確定第一張牌將會(huì)倒下，只要是某一個(gè)牌倒下了，與它相鄰的下一個(gè)牌也會(huì)倒下，那么就可以以此確定出相應(yīng)的遞推關(guān)系來(lái)推斷所有的多米諾骨牌都會(huì)倒下.

二、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式之應(yīng)用

1.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法

利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式的方法可以分為兩個(gè)步驟：第一步是驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)初始數(shù)值n0時(shí)所要證明的不等式成立，第二步是對(duì)于任意的正整數(shù)k，假設(shè)當(dāng)n的值等于k時(shí)不等式能夠成立，以此來(lái)證明當(dāng)n為k+1時(shí)所要證明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能夠順利證明完成，那么可以得出結(jié)論，即對(duì)于所有大于或等于n0的正整數(shù)n不等式成立.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式的方法中的這兩個(gè)步驟體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的遞推思想，對(duì)于證明格式要求比較嚴(yán)格，第一個(gè)步驟是遞推思想應(yīng)用的基礎(chǔ)，第二個(gè)步驟是遞推思想應(yīng)用的依據(jù).而且第二個(gè)步驟的變形是不等式證明的關(guān)鍵點(diǎn)，需要運(yùn)用假設(shè)方法來(lái)作為遞推證明的基礎(chǔ).利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有整除、恒等式、不等式和與幾何教學(xué)相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容.數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式的難點(diǎn)重點(diǎn)在于由n等于k時(shí)不等式成立來(lái)推出n等于k+1時(shí)不等式同樣成立這一步驟.為了順利完成這一步的推斷，不僅僅要合理使用假設(shè)和歸納的方法，還要靈活地使用所給問(wèn)題的其他相關(guān)條件和知識(shí)，證明時(shí)先比較n=k和n=k+1這兩個(gè)等式間的共同點(diǎn)和差異，然后決定后者做哪一種變形，再利用分析、放縮、比較、綜合的方法和不等式的傳遞性質(zhì)來(lái)完成證明.

2.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例析

數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式方面的應(yīng)用非常廣泛，利用它來(lái)證明不等式使用起來(lái)簡(jiǎn)單容易.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，應(yīng)該比較當(dāng)n=k和n=k+1時(shí)所得出的兩個(gè)不等式之間的形式差異，然后決定后者做什么樣的變形能符合條件.一般來(lái)說(shuō)有如下幾個(gè)解題方法和策略，首先是要學(xué)會(huì)活用起始點(diǎn)的位置，這樣可以適當(dāng)增加起點(diǎn)或者將起點(diǎn)位置前移，這樣可以補(bǔ)充不等式的一些特殊情形，容易驗(yàn)證；其次可以根據(jù)不等式的遞推目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治龊头趴s，或者引入一些合理的不等式用來(lái)過(guò)渡，將所要證明內(nèi)容進(jìn)行平穩(wěn)過(guò)渡，為目標(biāo)不等式的證明架橋鋪路.

例如，起點(diǎn)增加和前移的應(yīng)用：證明對(duì)于一切正整數(shù)n，都有2n+2>n2成立.

①當(dāng)n為1時(shí)，不等式兩邊顯然成立；

②假設(shè)對(duì)于正整數(shù)k，不等式也成立，即2k+2>k2，那么就需要證明不等式對(duì)于n=k+1也是成立的，即證明2k+1+2>（k+1）2.

因2k+1+2=2×2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

而2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=（k+1）2+（k-3）·（k+1），因此只需要（k-3）（k+1）>0原不等式就成立，而這需要有正整數(shù)k大于3的條件，因此可以把起點(diǎn)變?yōu)閚等于3，雖然起點(diǎn)增多了，但是歸納起來(lái)卻很方便.因而在步驟①的證明中，需要補(bǔ)充證明n為2和3時(shí)，不等式成立.如此一來(lái)，步驟②中的（k-3）（k+1）>0成立，則2k+1+2>（k+1）2是成立的，原不等式被成功證明.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的時(shí)候，在證明n等于k+1成立時(shí)需要具有明確的目標(biāo)意識(shí)，從而調(diào)控和確定證明的方向，逐步減少差異，最終成功證明不等式是成立的.

利用數(shù)學(xué)歸納法這種方法來(lái)證明不等式是一種非常方便的工具，可以有效提高解題效率、優(yōu)化解題過(guò)程甚至可以簡(jiǎn)化或者避免一些具體問(wèn)題.使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行不等式的直接證明時(shí)，因歸納和過(guò)渡往往比較困難，如果能巧妙地使用不等式的可加性和傳遞性，適時(shí)地使用假設(shè)不等式和過(guò)渡不等式與目標(biāo)不等式的特征關(guān)系，通過(guò)放縮常數(shù)和強(qiáng)化命題等技巧，可以順利完成歸納和過(guò)渡.另外，在利用它來(lái)解決不等式問(wèn)題時(shí)首先要細(xì)心地觀察，然后大膽地進(jìn)行聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)一些內(nèi)在的聯(lián)系從而為解決問(wèn)題找出方法和途徑.