淺談函數(shù)值域的求法

徐孝慧

對(duì)于步入高一，剛學(xué)過(guò)函數(shù)的概念、定義域、值域的學(xué)生來(lái)說(shuō)，遇到解函數(shù)值域問(wèn)題時(shí)，方法經(jīng)常會(huì)亂套.下面我就對(duì)這類學(xué)生闡述幾種常見的求函數(shù)值域的方法.

題目 求函數(shù)y=1[]x2+x+1的值域.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：求函數(shù)y=x2+x+1的值域.

1.圖像法

分析 這是一個(gè)一元二次函數(shù)，要求它的值域，可以先畫出它的圖像，根據(jù)圖像寫出它的值域，這也是求值域的一種方法，稱圖像法.

2.配方法

同時(shí)，要畫一元二次函數(shù)的圖像，一般要找對(duì)稱軸，當(dāng)然也就要對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行配方，這里表達(dá)式y(tǒng)=x2+x+1可以配成x+1[]22+3[]4，從而直接可以看出y≥3[]4，直接得到原函數(shù)的值域.這種通過(guò)配方求得函數(shù)值域的方法，我們稱為配方法.

所以，函數(shù)y=x2+x+1的值域?yàn)閥y≥3[]4.

注 在用配方法求函數(shù)值域的時(shí)候一定要注意等號(hào)成立的條件.例如：對(duì)于y=x2+1[]x2的配方，它既可以配成x-1[]x2+2，也可以配成x+1[]x2-2，但答案只有一個(gè).

得到了函數(shù)y=x2+x+1的值域，并沒有解決我們例1的問(wèn)題，還要進(jìn)一步的去計(jì)算，去求倒數(shù).

3.不等式法

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利用不等式去求y的范圍，從而得到函數(shù)的值域，這樣的方法也就稱為不等式法.

以上是通過(guò)先求我們熟悉的一元二次函數(shù)的值域，再求原函數(shù)的值域，那么，我們能不能直接去求該函數(shù)的值域呢？

4.判別式法

從函數(shù)本身出發(fā)，這是一個(gè)分式表達(dá)式，并且該函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，也就是說(shuō)，對(duì)于任意的x，此表達(dá)式都有意義.如果我們把x看成是自變量，y看成參數(shù)，并把分式等式化成我們熟悉的整式方程，則會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x的方程yx2+yx+（y-1）=0，并且方程有根.

解 由y=1[]x2+x+1可化成yx2+yx+（y-1）=0，

由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以

注 此方法使用的前提條件比較苛刻，有一定的局限性，原函數(shù)的定義域必須是一切實(shí)數(shù)，否則該方法就不可用.所以一般情況下，我們不提倡用此方法.

求函數(shù)y=x-1[]x+2的值域.

分析 這函數(shù)仍然是一個(gè)分式的形式，但和例1又有所區(qū)別，它的分子分母都含有x，都是變化的，那么能不能化成和例1形式接近的表達(dá)式呢？

5.分離常數(shù)法，又名中間變量求值域法

解 將分式的分子變成常數(shù)：

所以所求函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠1}.

如果沒有例1的提示，僅僅看這個(gè)分式，從表達(dá)式上看，可以把y看成是x的函數(shù)，表達(dá)式有意義的x的集合就是函數(shù)的定義域；我們也可以把x看成是y的函數(shù)，則使表達(dá)式有意義的y的集合就是函數(shù)x=g（y）的定義域，也就是函數(shù)y=f（x）的值域.從而有求y范圍的另一種方法：

6.反表示法

注 ①在本題中未提及函數(shù)的定義域，所以函數(shù)的定義域?yàn)槭沟帽磉_(dá)式有意義的x的集合.若對(duì)題中的x加上范圍，如x≥-4，則只要解不等式2y+1[]1-y≥-4即可.

②有些時(shí)候要從原表達(dá)式中解出x比較困難，并且還要解關(guān)于y的不等式，計(jì)算量會(huì)比較大，容易出錯(cuò)，需要我們有足夠的耐心.