對(duì)一道數(shù)學(xué)高考題的多角度思考

蔣亞軍

【摘要】本文研究了一道函數(shù)最大值的求解，從不同的角度進(jìn)行了詳細(xì)剖析以及對(duì)各種方法的教學(xué)進(jìn)行了探究.

【關(guān)鍵詞】換元；不等式；導(dǎo)數(shù)；向量

數(shù)學(xué)高考題，由于其內(nèi)在的規(guī)律，或由于思考的角度不同，可能會(huì)有許多不同的解法.在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)自覺(jué)探求多種解法，這樣可以使我們的學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能得到訓(xùn)練，能力得到增強(qiáng)，智力得到開(kāi)發(fā).在尋求多種解法時(shí)，要防止亂碰，而應(yīng)注意分析，使問(wèn)題的解決更有條理.下面就以一道高考題為例，探究其解法的多樣性.

（2008年重慶高考題第5題）函數(shù)y=1-x+x+3的最大值是.

解法1 平方法.

y2=1-x+x+3+2（1-x）（x+3）（-3≤x≤1）

=4+2-x2-2x+3.

當(dāng)x=1時(shí)，-x2-2x+3有最大值4.

∴y2最大值為8.

∴函數(shù)y=1-x+x+3的最大值為22.

評(píng)注 平方法是處理根號(hào)問(wèn)題最常用的方法，但卻是考生嫌麻煩最易忽視的方法.本題平方后除從二次函數(shù)角度求最大值，也可用基本不等式ab≤a+b22求解.

解法2 換元法.

令1-x=m，x+3=n，（m≥0，n≥0），

則m2+n2=4，

∴1-x+x+3=m+n.

令m=2cosα，n=2sinα，0≤α≤π2，

∴m+n=2cosα+2sinα=22sinα+π4.

當(dāng)α=π4時(shí)，m+n取得最大值為22.

∴函數(shù)y=1-x+x+3的最大值為22.

評(píng)注 換元法是處理根號(hào)問(wèn)題的第二個(gè)常用方法，形如y=ax+b+cx+d的形式一般都是換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解.本題換元后也可以用線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為直線與四分之一圓周相交求解.

解法3 基本不等式法.

由基本不等式a+b≥2ab，（a，b≥0）可推導(dǎo)得出

21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.

也即有a+b≤2a2+b22.

∴1-x+x+3≤2（1-x）2+（x+3）22=22，

當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x+3，即x=-1時(shí)等號(hào)成立.

評(píng)注 因不等式的變形形式較多，考生往往不能熟練運(yùn)用，因此在平時(shí)教學(xué)中要多滲透各種形式，甚至把柯西不等式也介紹給學(xué)生，雖然考試說(shuō)明不作要求，但是可以激發(fā)學(xué)生對(duì)不等式的學(xué)習(xí)興趣.

解法4 導(dǎo)數(shù)法.

求導(dǎo)得y′=121-x·（-1）+12x+3.

y2單調(diào)遞增22單調(diào)遞減2

∴函數(shù)y=1-x+x+3的最大值為22.

評(píng)注 導(dǎo)數(shù)法應(yīng)該是對(duì)函數(shù)（可導(dǎo)函數(shù)）單調(diào)性、最值研究的萬(wàn)能方法，且導(dǎo)數(shù)法應(yīng)用步驟層式化，因此復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)最好文科數(shù)學(xué)的教學(xué)也要滲透，所以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生在操作上還是比較容易的.

解法5 向量法.

y=1-x+x+3=1·1-x+1·x+3.

令m=（1，1），n=（1-x，x+3），

∴1-x+x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ，θ∈0，π4.

當(dāng)m與n同向，即θ=0時(shí)，m·n取得最大，

∴[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.

∴函數(shù)y=1-x+x+3的最大值為22.

評(píng)注 該解法巧妙地用“1”的代換將雙根號(hào)與向量的數(shù)量積聯(lián)系起來(lái)，解決起來(lái)非常方便.同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系.若將題目變?yōu)榍蠛瘮?shù)y=1-x+2x+3的最大值，此時(shí)平方法、基本不等式法就不能做了，換元法可以轉(zhuǎn)化為橢圓，導(dǎo)數(shù)法作為萬(wàn)能方法仍然適用，但是向量法的解答將十分簡(jiǎn)單：

令m=（1，2），n=（1-x，x+3），

∴1-x+2x+3=m·n=|m|·|n|·cosθ.

當(dāng)m與n同向，即θ=0時(shí)，m·n取得最大，

[m·n]max=|m|·|n|·1=2·2·1=22.

用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能更牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，而且通過(guò)一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，能夠培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力.多做一些一題多解的練習(xí)題，對(duì)鞏固知識(shí)，增強(qiáng)解題能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)大有益處.