Kuratowski十四集定理若干問題的代數思考

徐向南

【摘要】本文從代數的視角，通過在集合上引入幺半群結構，相對獨立的給出Kuratowski十四集定理的一個證明，并在此基礎上，計算出取內部和閉包變換至多生成7個集合，取閉包、取補、邊界變換下至多生成34個集合.

【關鍵詞】十四集定理；幺半群；集合數目

Kuratowski十四集定理是一般拓撲學中的一個重要結論，該定理表述為“對拓撲空間X的子集A，利用補集及閉包至多構成14種集合”.本文中筆者從代數的視角，通過對集合引入幺半群結構給出該定理的一個相對獨立的證明，在此基礎上，探析了通過閉包和內部變換至多產生的集合數目及由閉包、取補、取邊界變換至多產生的集合數目.

一、在集合上引入幺半群結構給出Kuratowski十四集定理一個相對獨立的證明

設（X，T）是一個拓撲空間，記其冪集為，并設S為從到上變換的全體，記g0為恒等變換即對任意A∈有g0（A）=A，g1為取補變換即對任意A∈有g1（A）=X-A=Ac，g2為取內部變換即對任意A∈有g2（A）=Ao，g3為取閉包變換即對任意A∈有g3（A）=A，記G為由g0，g1，g2，g3生成的集合.對于任意A∈，定義其乘積為：（gigj）A=gi（gjA）.則根據定義知：g21=e，g22=g2，g23=g3，則G構成一個幺半群.事實上，對任意A∈有：（gigjgk）A=gigj（gkA）=（gigjgkA）=gigjgkAi，j，k=0，1，2，3，故其G滿足結合律，且有g0是其單位元素，并且任意的（gigj）A均為X的子集，即（gigj）A∈，故G是一個幺半群.

在G上定義偏序關系，如果giA羐jA，則記gi≤gj，同樣的，如果giA耮jA，則記gi≥gj.由定義可知g2≤g0，g3≥g0，如果gi≤gj，則g1gi≥g1gj，并且對于開集A有g2A=A，對于閉集A有g3A=A.

文＼[1＼]中已證明了內部與閉包之間的關系有：A=Acoc，即g3=g1g2g1.由于g1-1=g1，容易有g2=g1g3g1.

下證對任意閉集A有g2g3g2=g2：

由g3≥g0知g2g3≥g2g0=g2，故g2g3g2≥g2g2=g2，因此g2g3g2≥g2.又由g2g3g2≤g2g3=g2，故對任意閉集A有g2g3g2=g2或對任意集合有g2g3g2g3=g2g3.

同理可證，對任意開集有g3g2g3=g3或對任意集合有g3g2g3g2=g3g2

由g2≤g0知g3g2≤g3g0=g3，故g3g2g3≤g3g3=g3，因此g3g2g3g2≥g3g2.又由g3g2≥g3g3g2，有g3g2g3g2≥g3g2g2=g3g2，因此有g2g3g2g3=g2g3.

下面討論由g1g3生成的幺半群：

由于g2g3g2g3=g2g3，并有g2=g1g3g1，故有g1g3g1g3g1g3g1g3=g1g3g1g3.

又g3g2g3g2=g3g2，并有g2=g1g3g1，故有g3g1g3g1g3g1g3g1=g3g1g3g1，即g3g1g3g1g3g1g3=g3g1g3.

顯然，可將g1g3生成的幺半群的元素可分為三類：

第1類：單位元素即g0；

第2類：先由g1作用生成的元素，通過計算得出有：g3g1，g1g3g1，g3g1g3g1，g1g3g1g3g1，g3g1g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g3g1；

第3類：先由g3作用生成的元素，通過計算得出有：g1g3，g3g1g3，g1g3g1g3，g3g1g3g1g3，g1g3g1g3g1g3.

綜上可知，由g1，g3生成的幺半群元素數目共有14個.記這個幺半群為G2，則

G2={g0，g1，g3g1，g1g3g1，g3g1g3g1，g1g3g1g3g1，g3g1g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g3g1，g3，g1g3，g3g1g3，g1g3g1g3，g3g1g3g1g3，g1g3g1g3g1g3}.

由于g2=g1g3g1，因此，由g1，g2，g3生成的幺半群一共有14個元素.

二、通過閉包和內部變換及閉包、取補、取邊界變換至多生成的集合數目

利用上面討論的記號、方法和結論，來探析通過閉包和內部變換及閉包、取補、取邊界變換至多生成多少個集合.

1.通過閉包和內部變換至多生成的集合數目

仍可將g1g3生成的幺半群的元素分為三類：

第1類：單位元素即g0；

第2類：先由g2作用生成的元素，通過計算得出有：g3g2，g2g3g2；

第3類：先由g3作用生成的元素，通過計算得出有：g2g3，g3g2g3.

綜上可知，由g2、g3生成的幺半群共有7個.記這個幺半群為G1，則G1={g0，g2，g3g2，g2g3g2，g3，g2g3，g3g2g3}.

2.通過閉包、取補、取邊界變換至多生成的集合數目

下面進一步探討由閉包、取補、取邊界生成的幺半群的元素至多有多少.利用上面的記號、方法和結論，記g4為取邊界變換即g4A=BdA，記G3是由g1，g3，g4生成的群.由定義容易有：g4（A）=g3（A）∩g3g1（A），g3（A）=g2（A）∪g4（A）=g1g3g1（A）∪g4（A），g4g1=g4.由于g4（A）為閉集，故有g3g4=g4.

下證對任意閉集A有g2g4（A）=В

設若不然，則有x∈g2g4（A），由于g2g4（A），故存在x的鄰域U使得U羐2g4（A）；又A為閉集，故U羐2g4（A）羐4（A）罙，故知x為A的內點；但x∈g2g4（A）羐4（A），即x為A的邊界點，矛盾！故g2g4（A）=.

下證對任意閉集A有g4g4=g4：

由于g3g4（A）=g4（A）=（g2（A）∪g4（A））g4（A）=g2g4（A）∪g4g4（A）=А萭4g4（A）=g4g4（A），故g4g4=g4.

下證對任意閉集A有g3g1g3g1（A）=g4g3g1（A）：

由于對于任意閉集有g2g3g2=g2，即g1g3g1g3g1g3g1（A）=g1g3g1（A），兩邊同時取補有g3g1g3g1g3g1（A）=g3g1（A）.

由g4g3g1（A）=g3g3g1（A）∩g3g1g3g1（A）=g3g1（A）∩g3g1g3g1（A），另一方面由g4g3g1g3g1（A）=g3g3g1g3g1（A）∩g3g1g3g1g3g1（A）=g3g1g3g1（A）∩g3g1g3g1g3g1（A）=g3g1g3g1（A）∩g3g1（A）=g4g3g1（A），

得g3g1g3g1（A）=g4g3g1（A）.

下面按照元素的次數討論G3中的元素：

顯然，1次元有3個，分別為g1，g3，g4.

經過計算，2次元有：g3g1，g1g3，g4g3，g1g4，g1g1=g0，g4g4，共6個.

3次元有：g1g3g1=g2，g4g3g1，g3g1g3，g1g4g3，g3g1g4，g1g4g4，共6個.

4次元有：g3g1g3g1，g1g4g3g1，g1g3g1g3，g4g3g1g3，g3g1g4g3=g1g1g3g1g4g3=g1μ=ν（其中μ（A）=Вν（A）=X），g1g3g1g4，g4g3g1g4，共7個.

5次元有：g1g3g1g3g1，g4g3g1g3g1，g3g1g3g1g3，g1g4g3g1g3，g1g3g1g4g3=g1g1μ=μ，g3g1g3g1g4，g1g4g3g1g4，共7個.

6次元有：g3g1g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g3，g1g4g3g1g3g1，g1g3g1g3g1g4，共4個.

7次元有：g1g3g1g3g1g3g1，共1個.

由于g3g1g3g1g3g1g3g1=g3g1g3g1（重復出現），g4g1g3g1g3g1g3g1=g4g3g1g3g1g3g1=g4g3g1g3g1（重復出現）.因此，元素的階數必然≤7.

故G3中共有3+6+6+7+7+4+1=34個元素.

結 論

根據上述討論可以得出：對于任意集合，集合的變換以變換的復合為運算構成一個幺半群.在此基礎上證明了，由閉包和內部變換構成的集合至多有7個，由閉包、取補變換構成的集合至多有14個（Kuratowski十四集定理），由閉包、取補、取邊界變換構成的集合至多有34個.

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