關于“求與已知直線夾角為定值的直線方程的定理”一文的疑惑

熊青厚

近日細讀文[1]，產生了一些疑惑，現述如下，與作者商榷.

疑惑1 文[1]提到課本上求過已知一點與已知直線平行或垂直的直線方程的例題的解題過程分為兩步：先利用兩直線平行或垂直的充要條件求出所求直線的斜率，再根據點斜式寫出直線方程.作者認為“這種解法解題過程不夠簡練，特別是當所給已知直線斜率不存在時，用上述方法求解這類問題，更使人無從下手”.我認為，該觀點有些言過其實了.理由有四：一是教學實踐表明，過一點求直線方程，就需要求斜率，涉及斜率，就得看斜率是否存在，這種思維是一環套一環的，學生容易想到.二是在具體求解過程中，若所給直線斜率不存在時，不是直接可寫出所求直線方程嗎，怎么就“更使人無從下手”了呢？三是相比直接套用定理寫出所求直線方程，課本上的例題的解題過程“不夠簡練”，但把這種定理的推導和記憶負擔加給學生，有必要嗎？四是直線的斜率是否存在，涉及分類討論思想，這正是培養學生思維的縝密性，提高數學素養的大好時機，不可省略.

疑惑2 文[1]中的定理1和定理2分別給出了過一個已知點與一條已知直線平行或垂直的直線方程，其推導過程分已知直線斜率存在或不存在兩種情況討論，然后根據點斜式或數形結合寫出方程，解題思路同課本例題如出一轍.其證明過程甚至略嫌重復，定理1的證明過程中的“Ⅱ）證明：l1∥l2”“Ⅲ）再證：直線l2過點Mx0，y0”顯得多此一舉.定理2的證明過程中情況類似.

疑惑3 文[1]給出了定理3：過點Mx0，y0且與直線Ax+By+C=0其中A2+B2≠0夾角為θθ≠π2的直線方程是Btanθ-Ax-x0-Atanθ+By-y0=0.

其實還有一條直線方程應為Btanθ+Ax-x0-Atanθ-By-y0=0.導致這種錯誤的根源在于定理3的證明過程中“1）當θ≠π2時，設所求直線的斜率為k，根據兩直線相交所成角公式tanθ=k+AB1-ABk”應為“…tanθ=k+AB1-ABk”，進而可得到不同的k.相應地，作者將定理2歸結為定理3中當θ=π2時的特例是不合適的，因為當θ=π2時，tanθ沒有意義了.

疑惑4 文[1]中的例1（課本54頁，第9題），利用定理3得到的直線方程為3x+7y-13=0.根據上文的疑惑3知，正確答案應為3x+7y-13=0和7x-3y-11=0.幾何直觀也告訴我們，所求的直線應該有兩條.

順便提及，文[1]被寸土寸金的數學通報2012年第2期和第5期兩次登載，是編輯疏忽，還是另有隱情，令人費解！

【參考文獻】

[1]張鑫.求與已知直線夾角為定值的直線方程的定理[J].數學通報，2012（2），2012（5）.

[2]普通高級中學教科書（必修）《數學》第二冊（上）[M].北京：人民教育出版社，2004.