淺談數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

江秉華

【摘要】數(shù)學(xué)期望在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中應(yīng)用十分廣泛，涉及經(jīng)濟(jì)、生活、法律、醫(yī)學(xué)、體育等諸多領(lǐng)域，例如資金投資問(wèn)題、決定生產(chǎn)批量問(wèn)題、商品流通問(wèn)題、試驗(yàn)決策問(wèn)題、機(jī)器故障問(wèn)題、彩票、保險(xiǎn)、求職問(wèn)題、民事糾紛問(wèn)題、疾病普查問(wèn)題、競(jìng)賽選拔問(wèn)題等等.本論文將初步從上列領(lǐng)域中進(jìn)行研究數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，探索運(yùn)用數(shù)學(xué)期望解決各類問(wèn)題的可行性和簡(jiǎn)便性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)期望；經(jīng)濟(jì)；生活；應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】021

1.引 言

數(shù)學(xué)期望的定義：

設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為

若А苅xipi<∞，則稱ξ的數(shù)學(xué)期望存在，記為Eξ=А苅xipi，否則稱ξ的數(shù)學(xué)期望不存在.

2.數(shù)學(xué)期望在產(chǎn)品銷售問(wèn)題中的應(yīng)用

例1 設(shè)國(guó)際市場(chǎng)每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量X（噸）服從區(qū)間[2000，4000]上的均勻分布.若售出這種商品1噸，可掙得外匯3萬(wàn)元，但如果銷售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每噸需保管費(fèi)1萬(wàn)元.問(wèn)應(yīng)預(yù)備多少噸這種商品，才能使國(guó)家的收益最大？

解 設(shè)預(yù)備這種商品y噸（2000≤y≤4000），則收益（萬(wàn)元）為

當(dāng)y=3500噸時(shí)，上式達(dá)到最大值.所以預(yù)備3500噸此種商品能使國(guó)家的收益最大，最大收益為8250萬(wàn)元.

3.數(shù)學(xué)期望在商品流通問(wèn)題中的應(yīng)用

例2 春季某服裝店計(jì)劃訂購(gòu)一批夏季服裝，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)來(lái)預(yù)測(cè)，這批新服裝銷售量為40，100，120（件）的概率分別為0.2，0.7，0.1，這件夏季服裝的訂購(gòu)價(jià)為60元，銷售價(jià)為100元，如果夏季售不出以后處理每件為40元，試由概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)來(lái)預(yù)測(cè)應(yīng)訂購(gòu)多少件新服裝？

分析 售出一件服裝能得到利潤(rùn)40元，處理后剩書(shū)則將虧損20元，為決定進(jìn)貨量，應(yīng)先求出在不同銷售量時(shí)盈利的數(shù)學(xué)期望.

解 （1）訂購(gòu)40件，銷售40件，盈利為40×（100-60）=1600（元），

則：Eξ1=1600元.

（2）訂購(gòu)100件，銷售40件、100件，盈利分別為40×100-100×60+60×40=400（元），

100×（100-60）=4000（元），

則：Eξ2=400×0.2+4000×0.7+4000×0.1=4000（元）.

（3）訂購(gòu)120件，銷售40件、100件、120件時(shí)的盈利分別為40×100-120×60+80×40=0（元），100×100-120×60+20×40=3600（元），

120×（100-60）=4800（元），

則：Eξ3=0×0.2+3600×0.7+4800×0.1=3000（元）.

根據(jù)盈利的數(shù)學(xué)期望大小，決定訂100件這樣的夏季服裝.

4.數(shù)學(xué)期望在試驗(yàn)決策問(wèn)題中的應(yīng)用

例3 假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（μ，1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤(rùn)T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：

T=-1， 若X<10，

20， 若10≤X≤12，

-5， 若X>12.

問(wèn)：平均直徑μ取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？

解 E（T）=-P{X<10}+20P{10≤X≤12}-5P{X>12}=-P{X-μ<10-μ}+20P{10-μ≤X-μ≤12-μ}-5{X-μ>12-μ}=-φ（10-μ）+20[φ（12-μ）-φ（10-μ）]-5[1-φ（12-μ）]=25φ（12-μ）-21φ（10-μ）-5.

兩邊取對(duì)數(shù)有

由此可得，當(dāng)μ=10.9毫米時(shí)，平均利潤(rùn)最大.

5.數(shù)學(xué)期望在有獎(jiǎng)銷售中的應(yīng)用

例4 某商店在年末大甩賣中進(jìn)行有獎(jiǎng)銷售，搖獎(jiǎng)時(shí)從搖箱搖出的球的可能顏色為：紅、黃、藍(lán)、白、黑五種，其對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金額分別為：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定搖箱內(nèi)裝有很多球，其中紅、黃、藍(lán)、白、黑的比例分別為：0.01%，0.15%，1.34%，10%，88.5%，求每次搖獎(jiǎng)?chuàng)u出的獎(jiǎng)金額平均值.

解 每次搖獎(jiǎng)?chuàng)u出的獎(jiǎng)金額X是一個(gè)隨機(jī)變量，易知它的分布律為

可見(jiàn)，平均起來(lái)每次搖獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額不足6元.這個(gè)值對(duì)商店作計(jì)劃預(yù)算時(shí)是很重要的.

6.數(shù)學(xué)期望在日常生活中的應(yīng)用

例5 某人回家探親購(gòu)買了上午9點(diǎn)的火車票，當(dāng)日上午8：50從家乘汽車到火車站，途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是0.4，遇到紅燈汽車需要等候5分鐘，問(wèn)此人能否在9點(diǎn)前到達(dá)火車站不耽誤上火車？

解 設(shè)X為途中遇到的紅燈的次數(shù)，易知X～b（3，0.4），故

P{X=k}=Ck30.4k0.63-k，（k=0，1，2，3）.

則X的分布律為：

0.4=1.2，所以此人到達(dá)車站時(shí)間為8：56，能夠按時(shí)上火車.

【參考文獻(xiàn)】

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