循環數中的卡普列加數

曾俊雄

【摘要】本文講述了在循環數中尋找卡氏甲數，用循環數表達卡氏乙數的方法，給出了卡普列加數的周期循環變化規律，從而揭示了循環數的周期現象.

【關鍵詞】卡普列加數；卡氏甲數；卡氏乙數；廣義卡普列加數；循環數符號

如果既約真分數ba（分母a不含2及5的素因數）是一個可化為純循環小數的分數，例如，59=0.5·，5[]11=0.4·5·，9[]11=0.8·1·，1[]7=0.1·42857·，那么5，45，81，142857等循環數與“卡普列加數”有關系嗎？首先，我們來看“卡普列加數”的有關定義：

定義1 取一個任意自然數M，將其平方M2切為兩半，并求其和M′.若M′=M，則M即為二階卡普列加數或二階卡氏甲數（簡稱卡氏甲數），M2的運算結果稱為卡普列加平方數或二階卡氏乙數（簡稱卡氏乙數）.

定義2 若（x）n或[x]n（x為正整數）表示把x重寫n遍并串聯在一起的n重數，則由重復數x組成的卡氏甲數[x]n稱為以x為底數的n重卡氏甲數（簡稱n重卡氏甲數）.例如：

[（81）3]2=8181812=669420|148761，M′=669420+148761=818181=（81）3.

（為了說明方便起見，在中間插入一個豎記號|，表示前半部分與后半部分的界限）

顯然，遵循“定義1”的思路，可以把“二階卡氏甲數”推廣到“三階卡氏甲數”“四階卡氏甲數”……（也叫作廣義卡普列加數）.例如：

[（81）8]3=5477084898572500|2351615326821940|0353117956423741，

M′=5477084898572500+2351615326821940+0353117956423741=（81）8，

[（5）2]4=554=09|15|06|25，M′=09+15+06+25=55，

其中（81）8，55分別稱為三階、四階卡氏甲數，[（81）8]3，554的結果分別稱為三階、四階卡氏乙數.

其次，我們先來研究二階卡氏甲數的求法.

巧求二階卡氏甲數

如何求純循環小數中以循環數為底數的n重卡氏甲數呢？首先，我們探討純循環小數的循環數.以17為例.重復應用普通的除法可得17=0.1·42857· 余3，2，6，4，5，1.下面列出b7（b=1，2，…，6）的余數和商：

其次，我們來求17的循環數142857的平方，并把平方的結果切成兩半求和（簡稱循環和）：

1428572=020408│122449，020408+122449=142857.

再把循環和連續寫兩遍即142857142857，并把這個數分成6節（每兩個數字分成一節），依次分別填入表一中的循環和中.

再次，如果循環和某一節中的兩位數與對應的商的一個數字以及下一個數字組成的兩位數相同，那么從這兩位數開始的循環數，就是一重卡氏甲數.如表一循環和中的1·4·與對應的商數是1及下一個商數是4，那么從14開始的循環數142857就是一重卡氏甲數，并把“1”填在表一n中的對應位置.

最后，余數從“1”開始，按順時針方向把余數1，3，2，6，4，5圍成一圈（如圖1），

圖 1然后從“1”開始，按逆時針方向順序依次可得到6個數（簡稱反向排列）為1，5，4，6，2，3，并把后5個數依次填在表一n中的對應位置上.這樣，由表一可得到另外5個卡氏甲數，如n=4對應的商數c=285714，則（285714）4就是卡氏甲數.所以，由表一可依次得到6個卡氏甲數：（142857）1、（428571）5、（285714）4、（857142）6、（571428）2、（714285）3.

由于大部分的既約真分數b[]a的循環節長度比較長，循環數書寫起來很不方便，所以本文規定：循環數符號b[]aλλ表示b[]a的循環節長度表示既約真分數b[]a的最小循環數.例如，由于2[]7=0.2·85714·的循環數是285714，循環節長度為6，則循環數符號2[]7λ=6表示的數為285714，即2[]7λ=6=285714.引進了“循環數符號”后，前面所求的6個二階卡氏甲數可以簡寫為：1[]7λ=6

當a-1[]2<λ≤a-1，即λ=φ（a）時，既約真分數b[]a只要構造一個余數、商數表就能求出b[]a的所有循環數.這樣，利用上面的方法就可以求出n重卡氏甲數baλn中的b值及n值.當然，搜求卡氏甲數的最主要方法是利用同余式.如911的循環數是81，由同余式81×3≡1（mod11），可得卡氏甲數（81）3.既然利用上面的方法可以獨立求出卡氏甲數，那么這個卡氏甲數所對應的卡氏乙數能否獨立求出嗎？

6等都是卡氏甲數，那么如何求出它們的卡氏乙數呢？卡氏甲數與卡氏乙數有什么關系呢？我們先來研究（57）λ=63即（714285）3所對應的卡氏乙數：

經過計算，可得等式一：[（714285）3]2=510204081632653060204081632653061225.不妨，把這種表達式稱為卡普列加數的一般表達式（以下同）.而2549m=18=510204 081632 653061比卡氏乙數的前半節多1，1049m=18=204081 632653 061224比卡氏乙數的后半節少1.所以等式一可簡潔表達為等式二：57λ=632=2549m=6×3-11049m=6×3+1.不妨，把這種表達式稱為卡普列加數的混循環數表達式（以下同）.這時混循環數表達式等價于一般表達式.如果把等式二中的前半節減去1和后半節加上1省略不寫，就可得近似的等式：57λ=632=2549m=6×31049m=6×3.不妨把這種表達式稱為卡普列加數的純循環數表達式（以下同）.不難發現，近似等式左邊的分數57和右邊的兩個分數2549，1049的關系為：57=2549+1049，即1049=57-572，而5[]7恰好是卡氏甲數57λ=63中底數中的分數.

所以，可以用下面的方法求二階卡氏甲數（ba）λn所對應的卡氏乙數，即求baλn2的值：

（1）由ba=ba2+ba-b2a2，即ba=b2a2+ab-b2a2，可得卡普列加數的純循環數表達式：baλn2=b2a2m=nλab-b2a2m=nλ.

（2）由（1）得卡普列加數的混循環數表達式：

baλn2=b2a2m=nλ-dab-b2a2m=nλ+1（其中1是定值，d是常數），由卡普列加數的定義知b2a2m=nλ-d+ab-b2a2m=nλ+1=baλn，再把b2a2m=nλ，ab-b2a2m=nλ，baλn展開代入這個等式，就可以確定d的值（一般d為0或1或2）.

（3）由（2）可以把卡普列加數的混循環數表達式轉化為一般表達式.

例 求卡氏甲數[（47）λ=6]2所對應的卡氏乙數.

解 （1）由47=4272+7×4-4272即47=1649+1249，得純循環數表達式：47λ=622=1649m=6×21249m=6×2.

（2）因為1649m=12=326530 012244其中1649m=12表示1649λ=42中循環數前面的12位數，以下同，（1249）m=12=244897 959183 ，47λ=62=（571428）2=571428571428.

再把上面的展開式代入等式：

1649m=12-d+1249m=12+1=47λ=62，得d=0，

所以，混循環數表達式為：（47）λ=622=1649m=121249m=12+1.

（3）由（2）即得一般表達式為

[（571428）2]2=5714285714282

=326530 612244 244897 959184.

可見，只要知道以循環數為底數的卡氏甲數，就一定可以準確地求出它對應的卡氏乙數.當然，還可以利用循環和求出三階、四階……n階卡普列加數.下面給出4個廣義卡普列加數的循環數表達式（其中（1）（2）等價于一般表達式，即準確表達式）：

（1）19λ=1803=1[]729m=8070[]729m=8010[]729m=80.

（2）27λ=6453=8343m=6×455343m=6×4585343m=6×45.

（3）59λ=17284=6256561m=7288436561m=72818666561m=7283116561m=728.

（4）59λ=11425=312559049m=142285459049m=142·1488959049m=142966759049m=142227059049m=142.上面，列舉了三階、四階、五階的卡普列加數，那么，到底卡普列加數有幾階呢？從下面的卡普列加數三角形表可以看出至少存在10階以19的循環數1為底數的卡普列加數.

表二 卡普列加數三角形

說明 （1）此表與楊輝三角形有類似之處，楊輝三角形中間的數，等于與上一行相鄰兩個數的和，而卡普列加數三角形中間的數，則等于與上一行相鄰兩個數的差（后數減前數），每一行第一個數都是1，從第二行開始，每一行最后一個數分別是9，92，…，910的值，并且從第三行開始，以最后一個數作為前面各數的分母求和，其和都等于1[]9.如，由第三行可得等式一：181+881=19，由第四行可得等式二：1729+7729+73729=19……

（2）由第三行可得二階卡普列加數：19λ=19+12=181λ′=90881λ′=91，這個等式中的分數就是等式一中的分數.又因為19λ=1=1，181λ′=9=012345679，881λ′=9=098765432，

所以這個等式可化為一般表達式（以下同）：1102=012345679 0 098765432 1.

同理，由第四行、第五行……第十行、第十一行分別可得下面的3階、4階……9階、10階卡普列加數：

19λ=181+13=1729λ′=8107729λ′=81073729λ′=811，

19λ=1729+14=16561λ′=729066561λ′=7290666561λ′=72906566561λ′=7291，

……

19λ=198+19=199λ′=980199λ′=980…3874204999λ′=981，

19λ=199+110=1910λ′=990（0）990…34867845910λ′=990348678440910λ′=991.

當然，由上面的等式還可以得到卡普列加數周期循環變化規律的等式（猜想），如：

19λ=181k+13=1729λ′=81k07729λ′=81k073729λ′=81k1（其中k為正整數）.

仿照表二可以看出至少存在（p+1）階以1p（p為素數）的循環數為底數的卡普列加數.

雖然，不是所有的循環數，都可以找到卡普列加數，但大多數循環數都可以找到卡普列加數.因為卡普列加數是乘方運算中的特例，并且卡普列加數比素數多得多.當我們求出了內循環卡氏甲數（指沒有出現周期變化規律的卡氏乙數所對應的卡氏甲數），那么可根據卡普列加數的周期循環變化規律，求出它的外循環卡氏甲數.下面給出卡普列加數的周期循環變化規律（猜想）：

如果baλnm（m，n是正整數，λ是循環節長度）的純循環數表達式：

baλnm（n

例如，等價于一般表達式的純循環數表達式：

29λ=1233=8729i=23101729i=2353729i=23，

な僑階卡普列加數表達式，其中8729+101729+53729=29，根據周期循環變化規律可猜想：

29λ=181k+233=8729λ′=81k8729i=23101729λ′=81k101729i=2353729λ′=81k53729i=23，也是三階卡普列加數表達式.當k=1時，上面的等式就是：

29λ=181+233=8729λ′=818729i=23101729λ′=81101729i=2353729λ′=8153729i=23，

這個等式經檢驗是成立的，并且是三階卡普列加數表達式.

絕大部分的卡普列加數都可以在循環數中找到.可見，循環數與卡普列加數是息息相關的.不但卡氏甲數出現了周期性的變化規律，而且卡氏乙數也出現了周期性的變化規律.最后，讓我們一起來繼續探討循環數、卡普列加數的周期現象及其他方面的應用吧！

【參考文獻】

[1]談祥柏編.數：上帝的寵物.上海：上海教育出版社.

[2]閔嗣鶴，嚴士健編.初等數論.北京：高等教育出版社.

[3]張遠達.循環小數.數學通訊，1983年第3、4、5期.

[4]傅種孫.循環小數循環位數問題.數學通報.北京：地質出版社出版，1983年第4、5期.