圓的擺線問題探究

汪喜天 康建軍

在高中數學（北師版）選修4-5參數方程一章給出了圓的平擺線與漸開線的參數方程.圓除了平擺線與漸開線外，還有其他擺線，筆者經過探究，推導出圓的其他幾種擺線的參數方程.

一、短幅擺線與長幅擺線

1.定義

①當動圓C沿著定直線L滾動時，圓C內部定點M的運動軌跡（這樣的曲線稱為短幅擺線）.

②當動圓C沿著定直線L滾動時，圓C外部定點M的運動軌跡（這樣的曲線稱為長幅擺線）.

③短幅擺線與長幅擺線統稱為變幅擺線.

2.短幅擺線的參數方程

設CM連線與圓C交于點A，取點A的初始位置O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸，圓C滾動的方向為正方向，建立如圖所示坐標系.

設圓C的半徑為r，CM=a（a

于是：x=OP-QP=rα-asinα，

y=MQ=CP+CN=r-acosα，

即得到點M軌跡的參數方程是

x=rα-asinα，

y=r-acosα.（α為參數）

注 ①當a=r時，上述方程為圓的平擺線方

程x=r（a-sinα），

y=r（1-cosα）.

②當a>r時，上述方程為圓的長幅擺線方程.

二、圓的內擺線與外擺線

1.定義

①設半徑為R的定圓O和半徑為r的動圓C（R>r），當圓C在圓O內無滑動地滾動時，圓C上一定點M的軌跡叫內擺線.

②設半徑為R的定圓O和半徑為r的動圓C（R>r），當圓C在圓O外無滑動地滾動時，圓C上一定點M的軌跡叫外擺線.

2.圓的內、外擺線的參數方程

（1）內擺線的參數方程

如圖，A為點M的初始位置，以O為原點，以OA為x軸，建立如圖所示坐標系，設圓C轉動的角度為∠BCM=α，此時兩圓相切于點B，設M的坐標為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作CQ⊥x軸于Q，作MN⊥CQ于N，設∠AOB=θ，由BA弧等于BM弧得：Rθ=rα，所以θ=rα[]R.又∠MCN=π-π[]2-θ-α=π-π[]2+rα[]R-α=π[]2-1-r[]Rα.所以x=OP=OQ+QP=（R-r）cosrα[]R+rsinπ[]2-1-r[]Rα=（R-r）cosrα[]R+rcos1-r[]Rα，

y=MP=CQ-CN=（R-r）sinrα[]R-rcosπ[]2-1-r[]Rα=（R-r）sinrα[]R-rsin1-r[]Rα.

即點M的軌跡參數方程為：x=（R-r）cosrα[]R+rcos1-r[]Rα，

y=（R-r）sinrα[]R-rsin1-r[]Rα，（其中α為參數）.

注 當R=2r時，點M的軌跡是圓O的一條直徑（此為2011年江西高考理科第10題）.

（2）外擺線的參數方程

如圖，點A為點M的初始位置，以O為原點，以OA為x軸，建立如圖所示坐標系，設圓C轉動的角度為∠MCB=α，此時兩圓相切于點B，設點M的坐標為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，過B作BQ⊥x軸于Q，作MN⊥BQ于N，連CM，設∠AOB=θ，

由BA弧等于BM弧得：Rθ=rα，

所以θ=rα[]R，∠MBN=1[]2（θ+α）=1[]2r[]R+1α.

在△BMC中，可得BM=2rsinα[]2，

所以x=OP=OQ+QP=Rcosrα[]R+2rsinα[]2sin1[]2r[]R+1α，y=BQ-NQ=Rsinrα[]R-2rsinα[]2cos1[]2r[]R+1α.

即點M的參數方程為

x=Rcosrα[]R+2rsinα[]2sin1[]2r[]R+1α，

y=Rsinrα[]R-2rsinα[]2cos1[]2r[]R+1α，

（其中α為參數）.

注 當R=r與R=2r時，點M的軌跡分別是心臟線和腎臟線.