高等職業(yè)院校文科數(shù)學教育的探討Ⅱ

數(shù)學是科學和科學思維方式的基礎，數(shù)學及其科學的思維方式已經(jīng)滲透到了現(xiàn)代社會的各個方面，本文進一步從數(shù)學的知識技能和創(chuàng)新兩個方面探討文科數(shù)學的教學模式.

一、數(shù)學思想與數(shù)學技能

數(shù)學學習的重要之處在于學習數(shù)學的思維方式，現(xiàn)代數(shù)學是建立在嚴密的公理體系之上的，數(shù)學的嚴密性的學習貫徹在了數(shù)學學習的整個過程中；數(shù)學的確定性明確了科學的嚴肅性；面對自然，面對科學，一就是一，二就是二，對錯是分明的，數(shù)學是可以做到這一點的唯一學科；數(shù)學的學習有助于培養(yǎng)建立邏輯推理的思維方式，對世界觀的確立是非常重要的；但在數(shù)學的發(fā)展過程中，數(shù)學的基礎也不是先天就嚴密的，例如歐幾里得幾何和日后建立的非歐幾里得幾何，就是建立在不同的邏輯基礎上的兩個幾何體系；在學習過程中，貫徹這種知識的漸進性對理解數(shù)學思想和提高對數(shù)學這門學科的學習興趣都是大有幫助的，如數(shù)位的進化，現(xiàn)在習慣使用的十進位制源于何時，我國古代數(shù)的進位是怎樣的，二進制又是什么意思；數(shù)的進化，何時出現(xiàn)的零、負數(shù)、虛數(shù)等，是跟人類認識數(shù)的過程相關的.現(xiàn)行的數(shù)學教材都是標準化了的數(shù)學教材，強調(diào)的是數(shù)學的科學性、嚴密性、邏輯性，這就要求教師不僅學習書本上的知識，還需要對數(shù)學和科學發(fā)展的歷史有所了解，每個知識點都有其來龍去脈，數(shù)學中的定理及概念也是一樣.

數(shù)學之美體現(xiàn)在數(shù)學的學習過程中，學習數(shù)學，我們可以學會嚴密的邏輯推理過程，我們可以學會簡化初始條件，并且在確定已知條件的前提下進行數(shù)學演繹.學習數(shù)學的結(jié)果，可以掌握一種用數(shù)和量來刻畫現(xiàn)實世界的一種技巧，有了計算機輔助，我們就可以對我們有興趣的問題進行復制進而創(chuàng)新了.數(shù)學技巧包括三個方面，第一是用數(shù)學觀點，即用數(shù)和量（向量）刻畫客觀現(xiàn)實的能力，具體來說就是用我們熟悉的實數(shù)和變量去解讀客觀現(xiàn)實的相關概念.如微觀經(jīng)濟學中的需求和供給兩個概念，都可以解釋為變量（數(shù)量），但是同為變量，這兩個概念體現(xiàn)了不同的變量特征，理解了變量的不同特征，就可以具體描畫這個變量，進而觀察變量與其他變量間的關系.這個技巧也是數(shù)學技巧中最難的技巧，需要學習數(shù)學及其相關科學的大量知識，才能具備相關的能力.第二就是建模，就是利用已有的數(shù)學模型，找出相關概念（數(shù)和變量）間的數(shù)學關系，建立方程，構(gòu)建模型.這個技巧的掌握有高有低，可以建立初等數(shù)學模型，也可以建立高等數(shù)學模型，相應的數(shù)學知識要求不一樣.但是基本數(shù)學工具微積分是每個需要用數(shù)量處理問題的人所必須掌握的數(shù)學知識和技能.第三就是解決模型的方法，現(xiàn)在流行利用計算機軟件來解決問題，軟件解決問題也需掌握相當數(shù)量的數(shù)學基本理論和知識，對掌握各種計算機軟件是大有幫助的.

二、數(shù)學知識與數(shù)學技能

數(shù)學對人們思維的影響是潛移默化的，它會影響人自覺還是不自覺地以一種符合邏輯的方式思考問題.人類幾千年來積累下來的數(shù)學知識浩如大海，如何在這些知識中學到我們需要使用的知識，都值得我們探討.數(shù)學知識不同于很多學科的知識，連貫性強，學習需要循序漸進.人類認識數(shù)的歷史已經(jīng)有幾千年了（有了文字記載開始），但是形成各種關于數(shù)的科學知識歷史并不悠久，大多是從17世紀西方開始.數(shù)學的歷史可以追溯到更早的古希臘亞里士多德時代，著名的《幾何原本》奠定了數(shù)學的基礎，數(shù)學在歐洲奠定嚴密科學基礎之前一直順著兩個方向在發(fā)展，即幾何和代數(shù).其實幾何與代數(shù)的發(fā)展一直是在相互支撐的，很多代數(shù)定理的證明可以借助幾何直觀來完成，如勾股定理的證明，是三個相互關聯(lián)的正方形面積間的關系.最早關于數(shù)的知識都是建立在自然數(shù)的基礎上的，如三角形數(shù)、正方形數(shù)等，數(shù)的進位等都有幾何直觀.數(shù)的發(fā)展也是經(jīng)歷了一個漫長的歷史過程，慢慢地發(fā)現(xiàn)幾何和直觀不能完全滿足客觀的要求，如數(shù)“零”的出現(xiàn)，負數(shù)的出現(xiàn)，數(shù)的十進制表示方法.數(shù)的漫長發(fā)展，使我們認識了數(shù)的全體構(gòu)成的實數(shù)集合的完備性、可分性、局部緊性而且與直線（實數(shù)軸）可以建立一一對應的關系.在實數(shù)集合上包含了我們最熟悉的自然數(shù)、有理數(shù)和我們不熟悉的無理數(shù)，數(shù)的各種運算都是在這個集合上進行的，由于數(shù)的完備性，我們可以進行實數(shù)的加減乘除（當然了，例外點要除去，計算的結(jié)果仍然是實數(shù)）和極限運算，運算的結(jié)果不會超出實數(shù)的范圍.為了運算的一般性，可以用字母代替數(shù)參與數(shù)學運算，即代數(shù)運算，實數(shù)集合及其上的運算結(jié)構(gòu)也構(gòu)成了一種模型.

函數(shù)是實數(shù)集合與實數(shù)集合的關系，一種特殊的關系.函數(shù)對每個實數(shù)x的像f（x）也是一個實數(shù)，而且是唯一的，這樣對函數(shù)我們同樣可以進行加減乘除，代替字母的數(shù)可以看作是在實數(shù)集合或其一部分上的一個變量，當然了，特殊點仍然要除外.當我們考察數(shù)的運算及變量間的關系時，發(fā)現(xiàn)實數(shù)與實數(shù)集合間的函數(shù)關系，可以用初等運算表示出來的只有常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)幾種，我們稱這幾種函數(shù)為基本初等函數(shù)，其中的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)是兩對關系與反關系.基本函數(shù)關系還有更深的含義，如指數(shù)函數(shù)是實數(shù)集合和正實數(shù)集合間的一一對應關系；三角函數(shù)刻畫了周期運動的特點；三角函數(shù)中的反正切函數(shù)則把無界的實數(shù)壓縮到了有界的實數(shù)區(qū)間，即用更宏觀的觀點看待基本初等函數(shù)，可以看到更有用的結(jié)果.用關系看實數(shù)集合同樣可以得到一些更有用的結(jié)果，數(shù)學前輩們用實數(shù)集合上的運算特征去觀察更一般的元素集合，可以清楚地了解具有運算特征的群、環(huán)、域.如果用一一對應的連續(xù)映射去看兩個集合，可以對元素構(gòu)成的集合進行拓撲分類了.實數(shù)集合給出了一種典范，在這個集合上，可以定義加減乘除代數(shù)運算及極限運算，運算的結(jié)果還是實數(shù)，所以我們說實數(shù)集合是完備的.實數(shù)集合上的每個數(shù)或者是分數(shù)或者可以用一個分數(shù)無限靠近（近似），所以我們說實數(shù)集合是可分的.實數(shù)集合上的每個數(shù)都可以用一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)來限制，所以我們說實數(shù)是局部緊的.實數(shù)集合上還有一個很好的序結(jié)構(gòu).在實數(shù)集合上獲得的很多結(jié)果，可以推廣到一些跟實數(shù)集合具有同樣特征的集合上.

可以看到實數(shù)集合上的幾個變量（基本初等函數(shù)）在認識數(shù)到實數(shù)集合再到元素構(gòu)成的集合過程中起到了重要的作用，現(xiàn)代數(shù)學是建立在集合論的基礎上的.數(shù)學的基礎就是從基本初等函數(shù)（一元函數(shù)）開始的，基本初等函數(shù)可以看作是實數(shù)域上的幾個基本變量，在此基礎上利用變量的數(shù)學運算（代數(shù)與非代數(shù)）可以構(gòu)造出很大一類實數(shù)域上的變量（初等函數(shù)類），這幾個變量也構(gòu)成了已知的函數(shù)關系的基本類型.一元微積分是學習處理這類變量的基本方法極限及微積分法.極限是數(shù)學最基本的工具，認識無窮和無限沒有極限這個工具我們會寸步難行，對極限的理解僅具備初等數(shù)學的知識是困難的，有了極限的知識反過來可以看到中學所學的數(shù)學內(nèi)容就不難了.極限的數(shù)學刻畫（即ε～N定義，ε～δ定義）是理解數(shù)學基本思想的基礎，極限的兩個特例無窮大量和無窮小量是理解極限的最好實例，如無窮大量與無窮小量的關系是反比例關系，利用極限的定義，才可以將這個關系理解和刻畫清楚.極限是刻畫變量變化趨勢的工具，當一個變量在變化過程中有趨勢時，稱之為極限.利用極限這個工具，我們可以對我們未知的無理數(shù)進行估計，對變量的運動過程進行數(shù)學刻畫，解決有限與無限這對矛盾.變量的運動趨勢分為有趨勢和無趨勢兩種，只有當變量運動有趨勢時，我們才可以進一步處理變量的運動趨勢；變量運動的無趨勢比較復雜，我們處理它的辦法還不多.微積分是一個函數(shù)的兩種特殊極限形式，導數(shù)是函數(shù)在一個點的差商的極限函數(shù)；微分用極限的觀點來看，就是在一點函數(shù)的變化與自變量變化是正比例的關系，滿足這個條件的函數(shù)成為可微的（即局部可以微小化）；積分可以看作是一個區(qū)間上某個函數(shù)微分的和，這個和就復雜了，不是有限和，也不是簡單的無限和，理解這個和需要學習無窮級數(shù).

利用函數(shù)的連續(xù)、可導（可微）、可積等特性，可以將函數(shù)進行分類，形成由函數(shù)構(gòu)成的集合.實數(shù)上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)類成為連續(xù)函數(shù)類；所有可導函數(shù)構(gòu)成一個函數(shù)類，也稱為光滑函數(shù)類；所有可積的函數(shù)構(gòu)成一個函數(shù)類.初等函數(shù)屬于這三個類別.常用的函數(shù)既是連續(xù)的（分段連續(xù)），又是可導和可積的.有沒有處處不連續(xù)的函數(shù)，實際上我們找一個處處連續(xù)但是處處不可導（不光滑）的函數(shù)都很難.

三、數(shù)學知識與數(shù)學建模

數(shù)學的學習過程往往很枯燥，從概念到概念，從定理到定理，從公式到公式，學生總會產(chǎn)生疑問，學數(shù)學到底有什么用？實際上數(shù)學認識客觀實際是理性和抽象的，數(shù)學認識客觀現(xiàn)實的過程本身就是創(chuàng)新，我們所觀察到的數(shù)都是有單位的，科學實驗是利用實驗的方法觀察一個因素（變量）的發(fā)展變化會不會引起另一個因素的變化.當我們抽象出數(shù)學公式時，我們處理的問題就抽象了，數(shù)學處理的數(shù)是沒有單位的數(shù)，建立的模型也是適合于各種變量的模型，如線性模型是一種簡單的數(shù)學模型，在解析幾何上，平面上的直線是線性模型的幾何直觀，但在社會實踐問題中線性模型具有一定的普遍性，在簡單經(jīng)濟分析中的供給與價格的關系.需求與價格的關系都可以用線性模型來模擬，而且可以建立供給與需求的均衡模式，這種均衡在經(jīng)濟學和管理科學中應用很廣.

數(shù)學知識在建模的過程中也是隨著認識的不斷深入而不斷加深的.在經(jīng)濟學里，當我們考慮需求時，可以大致將需求分為兩大類.總需求和個人需求.我們來看個人需求，當我們簡化問題時，我們可以限制個人的需求為一種商品（當然是不對的，這樣假設可以讓我們理清思路），那么個人的需求除了技術方面的原因以外，可以看作受三個變量的影響，一個是個人的可支配收入，一個是個人需要商品的數(shù)量，第三個是這個商品的價格.為簡單起見，我們假設商品的價格不變（是一個常量），可支配收入決定了個人可能消費的最大數(shù)量，假設個人的可支配收入全部用于消費，那么我們就可以建立一個個人可支配收入與商品消費數(shù)量間的線性模型；如果個人不全部消費，那么這個人的消費可以用平面上的一個集合來表示了.我們把假設放寬，假設個人不是只消費一種商品，而且我們假設價格不變，那么我們建立的模型就是一個多元線性模型，每個人的消費集也變成了空間中的一個凸集.可見隨著限制條件的減少，數(shù)學模型將會復雜，也就是說，需要的數(shù)學知識不斷增加.

社會科學中所面對的對象的數(shù)據(jù)具有離散性的特點，即客觀現(xiàn)實的數(shù)據(jù)是通過觀察得到的，而不是像大多數(shù)自然科學的數(shù)據(jù)是通過測量得到的，這就決定了在社會科學中處理的數(shù)據(jù)大多具有離散性的特點（由于人類認識的限制，我們觀察和測量的數(shù)據(jù)都具有離散性），所以在處理數(shù)據(jù)時，我們需要將離散的數(shù)據(jù)連續(xù)化，例如需求函數(shù)，它的取值為在不同價格水平上的商品的需求量（變量的值），制成品的需求量一定是個自然數(shù)，但是為了分析和使用數(shù)學方法起見，我們還是把需求函數(shù)看作在正實數(shù)范圍內(nèi)取值的一個變量，那么處理連續(xù)和可微變量的微積分法和其他數(shù)學方法就可以使用了.數(shù)據(jù)的第二個特性是總體性和大量性，如當我們考慮某時間某區(qū)域的價格水平時，我們會發(fā)現(xiàn)，價格是一個總體的數(shù)量特征，而這個總體是由許多種商品所構(gòu)成，也就是說我們所說的價格水平是這個地區(qū)所有產(chǎn)品價格的水平的一個代表，它可能不是任何一個具體商品的價格，我們在處理數(shù)據(jù)時需要這個代表，這里就有一個采集和處理數(shù)據(jù)，獲取這個代表的問題.所以在社會科學領域大多數(shù)數(shù)據(jù)的獲得是依靠統(tǒng)計手段，這里就需要概率與數(shù)理統(tǒng)計的基本知識.

以上談了自己對文科數(shù)學教育的一點看法，在教學方法上我們還可以進一步進行分析，本文就不再論及，我們會在進一步的文章中分析.

【參考文獻】

[1]孟祥進，沙棘.高等職業(yè)院校文科數(shù)學教育的探討Ⅰ.科教縱橫，2010（12）.

[2]蔣中一.數(shù)理經(jīng)濟學的基本方法.商務印書館.

[3]J.迪厄多內(nèi).現(xiàn)代分析基礎（第一卷）.科學出版社.

[4]孟祥進，徐寶慶.微積分.暨南大學出版社.