例談平面向量在解題中的應用

冷延鋒

向量是中學數學的一個重要內容，向量解題是中學數學解題教學的一個難點.運用向量知識解題，方法新穎，運算簡捷，是啟發學生思維的有效途徑之一，本文通過一些例子來談談平面向量在函數最值、三角求值、不等式證明、等式證明、和解析幾何方面解題中的應用.

一、函數最值

例1 求函數f（x）=5x+6-x的最大值及相應的x的值.

解 設向量a=（5，1），b=（x，6-x，）

則f（x）=a·b≤|a|·|b|=5+1×6=6，

當且僅當b=ka（k>0）時取等號，

∴x[]5=6-x[]1，

∴x=5時，f（x）有最大值為6.

二、三角求值

例2 已知cosα+cosβ=1[]2，sinα+sinβ=1[]3.求cos（α+β）的值.

解 構造向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），則a+b=1[]2，1[]3.|a|=1.|b|=1.

a·b=cosα·cosβ+sinα·sinβ=cos（α-β）.

∴（a+b）2=1[]22+1[]32=13[]36.

即a2+2a·b+b2+b2=13[]36.∴a·b=1[]213[]36-2=-59[]72.故cos（α+β）=-59[]72.

例3 求y=3sinx+cosx函數的最大值與最小值.

解 構造向量a=（3，4），b=（sinx，cosx）則y=a·b.|a|·|b|=3sinx+cosx≤5.由-|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|得

-5≤3sinx+cosx≤5，∴y=3sinx+cosx的最大值是5.最小值是-5.

三、不等式證明

例4 證明：對于任意的a，b，c，d∈R恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

證明 構造向量u=（a，b），v=（c，d）.則u·v=|u||v|cosθ（其中θ為向量u，v的夾角）.

ac+bd=a2+b2c2+d2cosθ，

（ac+bd）2=（a2+b2）（c2+d2）cos2θ≤（a2+b2）（c2+d2）.當且僅當u，v同向時，等號成立.

例5 已知a>b>c，求證：1[]a-b+1[]b-c+1[]c-a>0.

解 設u=（a-b，b-c），v=1[]a-b，1[]b-c.

由|u|2·|v|≥（u·v）2得：[（a-b）+（b-c）]-1[]a-b+1[]b-c≥（1+1）2.

即：1[]a-b+1[]b-c≥4[]a-c>1[]a-c.∴1[]a-b+1[]b-c+1[]c-a>0.

四、等式證明

例6 試證：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

證明 設向量AB=（cosα，sinα），CD=（cosβ，sinβ），

∴AB·CD=cosαcosβ+sinαsinβ.

設向量AB與CD的夾角為θ，則cosθ=cos（α-β）.

由cosθ=AB·CD[]|AB|·|CD|=cosαcosβ+sinαsinβ，

即得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

五、解析幾何

例7 已知一個圓的直徑兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），求此圓方程.

解 設P（x，y）為圓上異于A，B的點，由圓周角定理得AP⊥BP，若P（x，y）是與點A或B重合的點，則AP=0或BP=0，故都有AP·BP=0成立，從而（x-x1）（y-y1）+（x-x2）（y-y2）=0，此即為所求圓方程.

例8 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

證明 設Ay21[]2p，y1，By22[]2p，y2.Fp[]2，0，D-p[]2，y璂.則FA=y21[]2p-p[]2，y1，FB=y22[]2p-p[]2，y2.

因為FA與FB共線，所以y21[]2p-p[]2y2-y22[]2p-p[]2y1=0.

整理得y1·y2=-p2，所以y2=-p2[]y1.OA與OD是共線向量，y21[]2p·y璂-p[]2·y1=0，所以y璂=-p2[]y1.

從而y2=y璂.即BD平行于拋物線的對稱軸.

向量方法作為解決數學問題的強有力工具，縱觀歷年的高考、競賽試題，其優勢是不言而喻的.另外向量、所蘊涵的豐富的數學思想方法，如數形結合、構造模型、化歸轉換、平移變換等，有益于發展學生的思維能力，激發其創新活力.巧用向量，就能很容易地解決相關問題.