高中生數學問題表征能力個案分析

程勇

問題表征是認知活動中的中心環節，它說明問題在頭腦里是如何呈現、如何表現出來的.問題表征能力即指個體將外部信息轉化為內部信息，形成問題空間的能力.即指同學們明確問題給定條件，讀懂題意、理解題意的能力.因此，數學問題表征能力成為影響數學問題解決的重要因素.

1.研究方法

采用“出聲思維”對所執教的班級的兩類同學進行對比分析.這兩類同學隨機抽取，甲類同學平時成績比較優秀，思維較敏捷；乙類同學成績中等偏下，思維比較遲鈍.本次個案分析的目的是想了解優生與差生在表征數學問題時存在的主要差異及成因.

2.研究材料

材料1 設y=x2-10x+26+x2-2x+5，x∈R，求y的最小值.

材料2 有個和尚第一天日出從山底沿著山路時快時慢朝山頂走去，日落時剛好到達山頂.過了幾天，他又在日出時沿著同樣的路線下山，行走也是時行時歇的.雖然他行走的平均速度較上山快一些，不過也在近日落時到達山腳的.問：和尚在往返的路上是否會有一天中的同一時刻通過同一點？

3.解題實錄

材料1解題實錄：

甲類同學：這是一個求兩個根式和的最小值的問題.剛拿到題目，感覺無處下手，但是嘗試將兩個根號下進行配方，得到：

y=x-52+0-12+x-12+0-22.

這樣我突然想到兩點間的距離公式，因此此題可以轉換成在x軸上求一點，使它到（5，1）和（1，2）點的距離之和最小.而這類題目只需作出其中一點關于x軸的對稱點，然后連接對稱點和另外一點與x軸相交的交點的橫坐標即可.

同學乙：兩個根式的和求最小值的問題，從來沒有見這類題.以我已有知識，只能這樣做：將每個根式里面進行配方，但是配方后不能繼續下去！當第一個取最小值時，第二不取最小值；當第二個取最小值時，第一個不取最小值，這樣不知道如何繼續下去！

材料2解題實錄：

甲類同學：絕對有可能在同一時刻經過同一個地點.我可以把這個問題視作兩個和尚同時上山和下山，他們在行進的過程中肯定會在某個時刻在某個地點相遇.

乙類同學：我覺得不可能在同一時刻經過同一個地點.因為題中說過了幾天，他又沿著同樣路線下山，行走的平均速度較上山快一些，他上山與下山時，日出到日落的時差不相同，因此不可能在同一時刻經過同一個地點.

4.差異分析

（1）表征所用的知識圖式上存在著顯著差異

優等生頭腦中擁有大量的可利用的知識圖式，這些圖式可以促進問題的表征.優生在表征第1題時，配方以后馬上就會想到兩點間的距離公式，這種轉換能力是建立在非常靈活掌握此部分知識的基礎上，而差生不知道這種聯系，運用了錯誤的表征，從而導致解題失敗.

（2）表征問題的深度上存在著較大差異

差生不能抓住問題的本質，易被無關信息干擾，往往跳過關鍵信息，使用無關信息.如差生在表征第2題時，把關注點集中在“下山行走的平均速度較上山快”，而沒有注意到“也是近日落時到達山腳的”.而優生能夠迅速抓住問題的本質，將問題表征為兩個人同時上下山，一定會在途中某個位置相遇.

（3）表征問題時的心理因素存在較大差異

研究表明，學生心理的焦慮水平和問題的解決呈負相關.優生表征問題時沉著冷靜，能夠做到有條不紊；而差生在表征難以解決的問題時，往往會產生急躁心理，還沒等弄明白問題就急著要得出一個答案，甚至不管已知條件是否充足、所選擇的策略是否有效，他們就開始胡亂地把已知條件拼湊在一起進行數學運算，結果思維越來越混亂，使問題得不到有效解決.

5.提出對策

（1）突出問題的基本特征

對于一個數學問題來說，我們要善于抓住并突出其基本特征，這是有效表征問題的一個重要途徑.只有突出問題的基本特征，同學們的大腦中才會對這個問題的有用信息進行分析，而摒棄掉一些無關緊要的信息，這樣才可以為很好地進行表征做好鋪墊.

（2）注意表征方法的多樣化

我們可以嘗試讓學生用多種表征方法來思考問題，通過表征多樣化練習，從不同的表征方法中尋找最優方法.教師要創造性地使用教材，即注重一題多解、題題多變、多題一解的思維訓練，設計一些具有不確定性，非唯一結論的問題，讓學生在開放題的探索中，創造性思維得到發展.

（3）幫助學生使用適當的表征方法

同學們對一個數學問題都有自己的表征方法和內容，但是這些內容和方法是參差不齊的，存在一定的差異性，這種差異性因同學們的個性品質、知識結構不同而不同.因此我們應該幫助學生使用適合自己的表征.

（4）示范性表征方法的運用

由于多數教師重視解題過程而忽略表征過程，再加之教師很少向學生講解常用的表征的方法，致使學生無“法”可依.因此，教師應該在教學中加強示范性表征方法的應用，使同學們做到“有法可依”.通過示范性表征方法的運用，幫助學生建立相應的策略運用模型，從而順利地解決問題.