探究一道橢圓“變態”高考題

羅小斌

橢圓問題一直以來都是高考大題的考查熱點，主要以橢圓的標準方程、幾何性質以及直線與圓錐曲線的位置關系等內容為知識載體，其主要思想方法有數形結合、轉化與化歸和待定系數法等，重點考查學生的圖形分析能力、等價轉化能力和運算能力.下面我們來看一道今年在網上被評價為“變態”的高考題：

題目 （2012年江蘇卷第19題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），已知點（1，e）和e，32都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（ⅰ）若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜率；

（ⅱ）求證：PF1+PF2是定值.

一、試題參考解答

（1）略.（2）（ⅰ）略.

（2）（ⅱ）因為直線AF1與BF2平行，所以PBPF1=BF2AF1，于是PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1，

故PF1=AF1AF1+BF2BF1.

由B點在橢圓上知BF1+BF2=22，從而PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2），同理PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）.

因此，PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF2·（22-AF1）

=22-2AF1·BF2AF1+BF2.又由①②知AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2.

所以PF1+PF2=22-22=322.因此，PF1+PF2為定值.

點評 上述參考答案解法書寫繁瑣，不符合學生認知特點，在考場中很難正確列出并解下去.

參考解法書寫改進如下：

解 ∵AF1∥BF2，∴∠AF1P=∠F2BP.

又 ∵∠APF1=∠F2PB，∴△APF1∽△F2PB.

∴PF1PB=PAPF2=AF1BF2.設AF1=p，BF2=q，∴PF1=pp+qBF1，PF2=qp+qAF2.

∵AF1+AF2=22，BF1+BF2=22，

∴PF1+PF2=pp+qBF1+qp+qAF2=pp+q（22-BF2）+qp+q（22-AF1）

=22-p·BF2+q·AF1p+q=22-2pqp+q，以后過程同參考解法.

分析 此題之所以在網絡上被人評價為“變態”的問題，顯然是因為其極度繁瑣的運算.在高考考場中，由于緊張的氛圍，學生的運算能力往往得不到正常的發揮.這就要求我們教師在教學時，要能傳授學生正確轉化問題的能力，學生轉化能力的高低，直接決定了解題能力的高低.在本題中，如能注意到AF1和BF2平行條件，可轉化為兩直線傾斜角相等的結論，進而選擇傾斜角作為變量來表示邊長，再結合橢圓的定義，運算量將會減少很多.

二、優化解法

解 （1）略.（2）設∠AF1F2=α（α∈（0，π）），∵AF1∥BF2，

∴∠BF2F1=180°-α，設AF1=p，BF2=q.

∵AF1+AF2=22，BF1+BF2=22，∴AF2=22-p，BF1=22-q.

∴（22-p）2=p2+4-4pcosα，ぃ22-q）2=q2+4+4qcosα，解得p=12-cosα，q=12+cosα.

（ⅰ）若AF1-BF2=62，則12-cosα-12+cosα=2cosα2-cos2α=62>0，

∴3cos2α+42cosα-23=0且cosα>0，∴cosα=23.

∵α∈（0，π），∴sinα>0，

∴sinα=13，∴k瑼F1=sinαcosα=22.

（ⅱ）前面過程類似.2pqp+q=21p+1q=22+cosα+2-cosα=22，

∴PF1+PF2=22-22=322為定值.

點評 上述解法其實是以直線AF1的傾斜角作為參數來表示AF1和BF2，通過這種轉化，可看到式子簡化很多，運算量也相應減少，這就是數學中的轉化與化歸思想方法的價值所在.

本題之所以被考生戲稱為“變態”，其主要原因是考生的運算能力和轉換能力水平的下降，所以，高中教師在平時教學中一定要高度重視對學生運算能力和轉換能力的培養，不僅要重視對數學解題思路的培養，更要舍得花時間讓學生進行獨立的運算，對于一些比較繁瑣的公式，也可讓學生進行運算演練，只有這樣，才能培養出在高考中“眼高手也高”的學生！