高中數學中檔習題解法淺析

白樹

近年來各地高考數學試卷中“中檔題”所占比例約為60%～70%.這類題目的難度一般高于課本習題，要準確解答該類題目，選好解題方法是關鍵.中檔題一般牽扯到2～3個知識點，多源于課本.這類題目學生并不陌生，似曾相識，好像很易下手，但要準確解題，并非易事，需要學生牢固理解課本中的基礎知識，掌握基本解題方法.現將基本解題方法作以下分析.

第一類：數形結合法

例1 設F1，F2是雙曲線x2[]16-y2[]4=1的兩個焦點，P是圖形上的一點，且∠F1PF2=90°，則△PF1F2的面積S為.

分析 求Rt△的面積，只需求兩直角邊的積.

解 設PF1=m，PF2=n，由雙曲線的幾何性質可得

m2+n2=|F1F2|2=（45）2=80， （1）

|m-n|=8.（2）

這樣就將形的問題通過設立未知數轉化為等式問題求解.

由（2）得m2+n2-2mn=64，

將m2+n2=80代入即得S=1[]2mn=4.

第二類：換元法

換元就是變量的替換，將一種變量轉換為另一種變量，使問題得到解決.

例2 求出函數y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

分析 可將sinx，cosx看成式子中的兩個變量，找到sinx與cosx之間的關系是解決本題的關鍵，根據同角三角函數之間的關系，則通過換元可以解決.

解 設m=sinx+cosx，m∈[-2，2]，兩邊平方可得

sinxcosx=1[]2（m2-1）.

因此原來函數就轉換為關于m的二次函數，通過配方得到

y=1[]2（m2-1）+m=1[]2（m+1）2-1.

又-2≤m≤2，∴當m=2，即sinx+cosx=2，

即x=2kπ+π[]4，（k∈Z）時，y璵ax=1[]2+2.

第三類：待定系數法

就是以方程的思想，將未知（待定）的系數與已知數據統一于方程之中.

例3 已知方程x4-10x3+36x2-52x+20=0有一根為3+i，解這個方程.

分析 由實系數方程的虛根共軛可知方程必有另一根3-i，由此可得

x4-10x3+36x2-52x+20=（x-3-i）（x-3+i）（x2+bx+c）.

應用賦值法可確定b，c的值.

解 先令x=0，c=20[]（-3-i）（-3+i）=2，

再令x=1，-5=（-2-i）（-2+i）（b+3），

∴b=-4.

∴x2+bx+c=0輝2-4x+2=0，x3，4=2±2.

∴原方程的四個根分別是3±i、2±2.

第四類：分類討論法

分類既要做到必須、適時、合理、恰到好處，又要保持不重不漏，簡單明了.

例4 已知集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，若A∪B=A，求實數a的值.

分析 A∪B=A，則B罙，而已知A是二元集，

∴B中元素個數不確定，因此要進行分類討論.

解 ∵A∪B=A，∴B罙，可知A={0，-4}.

①當B=時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0無實數根，則Δ=[2（a+1）]2-4（a2-1）<0，解得a<-1.

②當B為一元集時，方程有兩個等實根，

則Δ=0，解得a=-1.

③當B=A時，由韋達定理可得

x1+x2=-2（a+1）=-4，

x1x2=a2-1=0，

Δ>0輆>-1.

a≤y輆=1，

a=±1輆=1，

a>-1.

綜上，所求實數a的值為a≤-1或a=1.

第五類：反證法

例5 如果三個方程x2+2x+a-1=0，

x2-2（a-1）x+a2=0，

x2+x+4-a=0

至少有一個方程有實數根，求實數a的取值范圍.

分析 三個方程中至少有一個方程有實數根，情況較復雜，逐一研究過程煩瑣，但其方面只有一種情況，可以從這個角度入手.

解 設三個方程至少有一個方程有實數根時，實數a的取值集合為A.

如果三個方程都沒有實數根，則

22-4（a-1）<0，

[-2（a-1）]2-4a2<0，

12-4（4-a）<0.

2

瘙 綂 璘A=a2

∴A=aa≤2或a≥15[]4.

因此，當三個方程至少有一個方程有實數根時，實數a的范圍是a≤2或a≥15[]4.

解數學題的方法很多，要靈活應用各種方法，必須要在以下幾點上下工夫：

（1）在基礎知識的學習上下功夫.（2）在能力提升上下工夫.

（3）在實際應用能力上下功夫.（4）培養良好學習習慣，提高解題的準度、速度和表述能力.