對(duì)一道高考題的解法探究

陳學(xué)進(jìn)

原題 （江蘇省2010年高考數(shù)學(xué)14題）將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=（梯形的周長）2[]梯形的面積，則S的最小值是.

分析 如圖，正三角形ABC的邊長為1，平行于底邊的直線DE將三角形分成正三角形ADE和等腰梯形DECB兩個(gè)部分.

設(shè)AD=x，則

S=（梯形的周長）2[]梯形的面積=4[]3·（3-x）2[]（1-x2），（0

因此，要求S的最小值，關(guān)鍵是求函數(shù)y=（3-x）2[]1-x2，（0

思路一 利用求函數(shù)值域的基本方法.

解法1 y=（3-x）2[]1-x2，去分母整理得（y+1）x2-6x+9-y=0，關(guān)于x的方程有解.

所以，Δ=（-6）2-4（y+1）（9-y）≥0，y2-8y≥0.

所以，y≥8或y≤0（舍去），即y=（3-x）2[]1-x2的最小值為8，此時(shí)x=1[]3.

解法2 令3-x=t，t∈（2，3），換元，x=3-t.

y=t2[]1-（3-t）2=t2[]-8+6t-t2=1[]-8[]t2+6[]t-1，當(dāng)1[]t=8，即x=1[]3時(shí)，y取最小值8.

解法3 求導(dǎo)數(shù)y′=-2（3-x）（1-x2）+2x（3-x）2[]（1-x2）2=3（3-x）（3x-1）[]（1-x2）2.

令y′=0，則x=1[]3，且當(dāng)x∈0，1[]3時(shí)，y′<0，當(dāng)x∈1[]3，1時(shí)，y′>0，所以，當(dāng)x=1[]3時(shí)，y取得最小值8.

思路二 從基本不等式求最值出發(fā).

解法4 y=（3-x）2[]1-x2=x2-6x+9[]1-x2=（x2-1）-6x+10[]1-x2=-1-2（3x-5）[]1-x2.

設(shè)5-3x=t，則t∈（2，5），x=5-t[]3，于是y=-1+18t[]-16+10t-t2，

y=-1+18t[]t2-10t+16=-1+18[]10-t+16[]t，從而當(dāng)t=4，即x=1[]3時(shí)，y取最小值8.

解法5 y=（3-x）2[]1-x2=3-x[]1+x·3-x[]1-x=-1+4[]1+x·1+2[]1-x.

令a=1[]1+x，b=1[]1-x，由條件知a，b∈R+，且1[]a+1[]b=2，2ab=a+b.

y=（-1+4a）（2b+1）=2b+8a-1=（b+4a）·1[]a+1[]b-1=b[]a+4a[]b+4≥8，

當(dāng)且僅當(dāng)b[]a=2，x=1[]3時(shí)，y取得最小值8.

解法6 y=（3-x）2[]1-x2=3-x[]1+x·3-x[]1-x.令a=3-x[]1+x，b=3-x[]1-x，則2[]a+1[]b=1，

于是1≥22[]ab，ab≥8，即y=ab的最小值為8，此時(shí)2[]a=1[]b=1，x=1[]3.

解法7 y=（3-x）2[]1-x2=（3-x）2[]（1-x）（1+x）.令a=1+x，

b=1-x， x=a-b[]2，

于是y=3-a-b[]22[]ab=a2+4b2+4ab[]ab≥4ab+4ab[]ab=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即

x=1[]3時(shí)，取得該最小值.

思路三 變換特征三角轉(zhuǎn)換.

要求函數(shù)y=（3-x）2[]1-x2，（0

解法8 y=3-x[]1-x2=3-sinα[]cosα，去分母得ycosα=3-sinα，sinα+ycosα=3，

y2+1sin（α+θ）=3，于是有3[]y2+1≤1，解得y≥22，

所以y的最小值為22.

解法9 設(shè)x=cosα，x∈0，π[]2 ，y=3-x[]1-x2=3-cosα[]sinα=4tan2α[]2+2[]2tanα[]2=2tanα[]2+1[]tanα[]2≥22，當(dāng)且僅當(dāng)tan2α[]2=1[]2，x=cosα=1[]3時(shí)，取最小值22.

解題反思

1.引進(jìn)變量，建構(gòu)函數(shù)模型是解決該實(shí)際問題的基礎(chǔ).

2.利用一定的數(shù)學(xué)思想方法求解函數(shù)的最值是必備的基本技能.

3.能夠運(yùn)用常見的數(shù)學(xué)思想方法，將問題變形轉(zhuǎn)化，有助于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決能力和整合數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在頭腦中的整體建構(gòu).