一類特殊定積分的幾何解法

周壽彬

【摘要】對于教材中出現的一類特殊定積分進行歸納、推廣后，探討該類定積分的幾何解法.

【關鍵詞】定積分；幾何解法；面積

【中圖分類號】O172.2

高等數學或微積分教材的例（習）題中常出現А要瑀-rr2-x2dxЩ顙А要瑀0r2-x2dx（r>0，設下文涉及的r皆大于零）類型積分的計算，有時在計算一些復雜定積分的中間過程中也會出現這類積分，例題講解時用的是三角代換x=rsint求解，過程較為繁瑣（當然三角代換作為一種換元積分法是應該而且必須掌握的，但這并不妨礙我們探尋更簡便的解法），更簡單的是用定積分的幾何意義求解（簡稱“幾何解法”）.事實上，深入分析后發現形如А要瑀璳r2-x2dx（-r≤k

1.下面對定積分I=А要瑀璳r2-x2dx（-r≤k

（1）當k=-r時，I=А要瑀-rr2-x2dx的值等于以原點為中心，r為半徑的圓面積的一半，即I=1[]2π·r2（如圖1陰影部分所示）.

（2）當k=0時，I=А要瑀0r2-x2dx的值等于以原點為中心，r為半徑的圓面積的四分之一，即I=1[]4π·r（如圖2陰影部分所示）.圖 1圖 2 圖 3 圖 4

（3）當-r

（4）當00，可求出α=arccosk[]r，從而I=π·r2·α[]2π-1[]2k·r·sinα=1[]2r2·α-1[]2r·k·sinα（0

在情形（3）（4）中計算Rt△AOk的面積時也可以先用勾股定理求出另一條直角邊Ak長度后再計算.

2.應用舉例

例1 求定積分А要2-14-x2dx的值.

解 由上述情形（3），k=-1，求得α=arccos-1[]2=2π[]3，則

А要2-14-x2dx=1[]222·2π[]3+1[]2r·1·sin2π[]3=4π[]3+3[]2.

例2 求定積分А要1[]202x-x2dx的值.

解 根據該積分特點可以先換元再求解.

令t=1-x，則А要1[]202x-x2dx=А要1[]211-t2d（1-t）=А要11[]21-t2dt.

由上述情形（4），先求得α=arccos1[]2=π[]3，則

А要11[]21-t2dt=1[]2·12·π[]3-1[]2·1[]2sinπ[]3=π[]6-3[]8.

例3 填空：А要20x2x-x2dx=.（2012年全國碩士研究生入學統一考試數學試題第（10）題）

解 根據該積分特點可以先換元再求解.

令t=1-x，則x=t+1.

А要20x2x-x2dx=А要1-1В1+t）1-t2dt=А要1-11-t2dt+おА要1-1t1-t2dt=А要1-11-t2dt（其中А要1-1t1-t2dt=0用到奇函數在對稱區間上積分的特性）.

由上述情形（1），А要1-11-t2dt=1[]2π·12=π[]2，故應填π[]2.

綜上所述，在遇到計算形如А要瑀璳r2-x2dx（-r≤k

【參考文獻】

[1]朱來義.微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，2009：147-197.

[2]朱來義.微積分[M].2版.北京：高等教育出版社，2004：155-188.

[3]同濟大學數學系.高等數學：上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：223-293.

[4]http：∥www.233.com/kaoyan/math/zhenti/20120108/162222296-2.html.