對(duì)集合的特性理解的一點(diǎn)淺見(jiàn)

孫永平

【摘要】集合是考查同學(xué)們能力與學(xué)習(xí)潛力的很好的命題素材，它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是支撐代數(shù)大廈的基石.由于集合的確定性、互異性、無(wú)序性使集合形成了一套嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)，因此要學(xué)好集合，必須對(duì)集合的三大特性有深刻透徹的理解.本文將對(duì)集合的三大特性進(jìn)行較為詳盡的闡述，供參考.

【關(guān)鍵詞】集合；特性；確定性；互異性；無(wú)序性

高一《數(shù)學(xué)》必修1的教學(xué)一開(kāi)始就要從集合的概念入手，由于集合的概念是在承繼康托爾（Cantor）的描述性概念，所以初上高一的學(xué)生理解起來(lái)還是比較困難的，為此，本人對(duì)其三個(gè)特性做了一點(diǎn)研究，得到了一些有用的結(jié)論，教學(xué)效果也比較好，現(xiàn)把它整理出來(lái)，和同行共享.

集合的概念在書(shū)本上只是這樣描述的：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素（element），組成的總體叫作集合（set）（簡(jiǎn)稱集）.這種描述性的概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解得不透，很容易對(duì)集合的三個(gè)特性的問(wèn)題設(shè)置中出現(xiàn)疑問(wèn)，我認(rèn)為從以下三個(gè)方面來(lái)理解會(huì)使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念理解得更加透徹.

一、集合中元素的確定性

給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中是確定的，要么在，要么不在，二者必居其一.換句話來(lái)說(shuō)，組成一個(gè)集合的元素是確定的，不能不清楚標(biāo)準(zhǔn)，模棱兩可.如：“高一年級(jí)長(zhǎng)得比較帥的同學(xué)”“《數(shù)學(xué)》第一章中比較難的數(shù)學(xué)題目”“本班身材比較高的同學(xué)”“高一年級(jí)肺活量比較大的男同學(xué)”等等，這些元素都沒(méi)有確定性，因而就構(gòu)不成集合，任給一個(gè)元素，無(wú)法確定該元素是否在這個(gè)集合內(nèi).但是，像“高一·一班的全體男同學(xué)”“高一·一班個(gè)子最高的同學(xué)”“不小于2的全體實(shí)數(shù)”等中的元素是確定的，可以組成集合.

例1 已知-1∈A={x，x2}，求x.

分析 由于-1是A中的元素，因此x，x2中必有一個(gè)等于-1，而x2≥0，所以x=-1.

解 ∵-1∈A={x，x2}，

而x2≥0，

∴x=-1.

二、集合中元素的互異性

一個(gè)集合中的元素是互不相同的，相同的元素放入一個(gè)集合只能算一個(gè).在這個(gè)意義下，集合中的元素相當(dāng)于“類”，一個(gè)元素在一個(gè)集合中相當(dāng)于“一類”.關(guān)于集合中元素的互異性，考查的很多，應(yīng)給學(xué)生多舉幾個(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的例子，以加深理解.如：

例2 1∈A={x，x2}，求x.

解析 ∵1∈A={x，x2}，

∴x=1或x2=1（解得x=±1）.

而x=1與集合中元素的互異性相矛盾，

因此x=-1.

三、集合中元素的無(wú)序性

集合中的元素是沒(méi)有順序的.從這方面來(lái)說(shuō)，集合就像一個(gè)“麻袋”，把任何東西都可以作為元素裝進(jìn)這個(gè)“麻袋”.無(wú)論以怎么樣的順序裝進(jìn)去都指這個(gè)集合.如{a，b，1，2，課桌，小汽車}={課桌，b，1，小汽車，2，a} .

當(dāng)把集合的互異性和無(wú)序性結(jié)合在一起的時(shí)候，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)就會(huì)復(fù)雜一些，這種題目對(duì)學(xué)生理解集合的概念、特性幫助很大.

例3 已知集合A={1，1+d，1+2d}，集合B={1，q，q2}，若A=B，求實(shí)數(shù)d，p的值.

解析 由A=B得1+d=q，

1+2d=q2，

①或1+d=q2，

1+2d=q.②

由①得q=1，

d=0，

∴A=B={1，1，1}，不符合元素的互異性，舍去.

由②得q=-1[]2，

d=-3[]4，

或q=1，

d=0.

（舍去）.

經(jīng)檢驗(yàn)，q=-1[]2，

d=-3[]4符合題意.

例4 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值.

析 ①若a+b=ac且a+2b=ac2，消去b得：a+ac2-2ac=0，即a（c2-2c+1）=0.

當(dāng)a=0時(shí)，集合B中的三元素均為零，這與元素的互異性矛盾，故a≠0.

當(dāng)c2-2c+1=0，即c=1時(shí)，集合B中的兩元素又相同，故c≠1.

②若a+b=ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0.

∵a≠0，∴2c2-c-1=0，即（c-1）（2c+1）=0，

又 c≠1，故c=-1[]2.

集合是考查同學(xué)們學(xué)習(xí)能力與學(xué)習(xí)潛力的很好的命題素材，它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是支撐代數(shù)大廈的基石.由于集合的確定性、互異性、無(wú)序性使集合形成了一套嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)，因此要學(xué)好集合，必須對(duì)集合的三大特性有深刻透徹的理解.以上只是本人對(duì)集合特性的一點(diǎn)教學(xué)心得，供高一初學(xué)集合的學(xué)生參考.