再探對稱數

谷春安 陸建軍

【摘要】對稱數是包羅萬象且又深刻的，難能一書言盡，一書說透.本文將闡述的是關于對稱數的基本性質、對稱數的分布圖像、對稱數研究的目標意識等內容.

【關鍵詞】對稱數；性質；圖像；目標

拙作《探幽對稱數》發表于《數學學習與研究》第9期上，該文僅僅是我們的初步研究成果.在后續再探索中，我們又加深并拓展了對對稱數的認識，于是以“再探對稱數”為題，進一步闡析對稱數.

一、“對稱數的基本性質”補遺

在《探幽對稱數》一文中已闡述過對稱數的基本性質，為更全面、深入地認識對稱數，本文再補充一些關于對稱數基本性質的內容.

1.在疊減法則下，任意三檔以上對稱數都可以拆成兩個或兩個以上的對稱數.

如：

2.任意兩個對稱數相乘，如果其乘法豎式里沒有相乘、相加進位，其結果一定是對稱數.

如：313×20002=6260626，1221×202202=246888642.

很顯然，能滿足“乘法豎式里沒有相乘、相加進位”條件的，一般是兩個相乘的對稱數各個數位上的數字都比較小.

3.如果一個對稱數各位上的數是2或3，4，5，6，7，8，9的倍數，那么這個對稱數就一定能夠被2或3，4，5，6，7，8，9整除，且商一定是對稱數.

如：36963各位上的數都是3的倍數，則36963÷3=12321；8448448各位上的數都是4的倍數，則8448448÷4=2112112.

4.同檔級對稱數中，有較多的對稱數具有整除性；不同檔級對稱數中，也有一些對稱數具有整除性.

如：464÷232=2，363÷121=3，4884÷1221=4，5555÷1111=5，60006÷10001=6，777777÷111111=7，59895÷5445=11，1430341÷130031=11，4376734÷43334=101.

二、對稱數分布圖像

對稱數在多位數中的分布是極其廣泛的，那么它們的分布狀況能否說明某些數學問題呢？請先看下面的對稱數分布圖像.

三檔對稱數分布圖像

四檔對稱數分布圖像

五檔對稱數數量比起三、四檔對稱驟然增加了許多，很難在方寸紙上將其完整的分布圖像描繪出來，于是只顯示了其中的一小部分.

五檔對稱數分布圖像

觀察、分析如上三、四、五檔對稱數分布圖像，能夠發現多位數中對稱數分布的一些規律.

1.任意檔級對稱數數量都是一個常數，如三、四、五檔對稱數數量分別是90，90，900個.

2.不同檔級對稱數的分布圖像猶如依序排列的9盞豎直懸掛著的日光燈那樣，一截一截的，亮白亮白的.而且每“截”上的所有對稱數的外檔都是相同的，如三檔對稱數中外檔為“6”的10個對稱數都分布在600～700這截數域間；五檔對稱數中外檔為“1”的100個對稱數都出現在10000～20000的數域間.

3.在0～100、0～1000、0～10000……中分別都沒有三、四、五檔……對稱數.

4.同一檔級對稱數在相應數域的分布數量是均等的，如三檔對稱數在100～200中有10個，在200～300中也有10個，在300～400中還是10個.換句話說，就是同一檔級對稱數中，外檔為“1，2，3，4，5，6，7，8，9”的對稱數數量都是同樣多.

5.如果像三檔、四檔對稱數分布圖像那樣把各個數域中大小順序相應的對稱數用虛線連接起來，可以得到9條連線，且這些連線是逐步上揚、相互平行的.

6.用“對稱數分布圖像法”去檢索多位數中的對稱數，比起“對稱數圖譜法”更直觀、簡便.

三、對稱數問題研究的目標意識

致力于對稱數問題研究，直至初步建立起對稱數理論，其目標意識是什么呢？

1.在于發展數學科學

數學科學和世間事物一樣，都需要發展.

推動數學科學發展的途徑是多樣的，而探索者首選的則是為數學知識大廈增添新內容，因為他們清楚地看到數學知識大廈其實就是一個個微觀知識的累積，是由諸如自然數、整數、小數、分數、函數、三角形、圓錐體等局部知識共同構建的.對稱數問題研究，是從廣袤的自然數中擇取自身特點明顯的對稱數作為研究對象的探索過程，其中包括對稱數相關概念、計算方法的提出，以及對稱數的特點、性質的探析，直至初步建立起對稱數知識體系.很顯然，“對稱數”擴充了數學知識寶庫，這是其一.

其二，對稱數問題，開墾了一方數學地塊.這對于激發人們關注數學現象的主動性、自覺性，對于增強數學意識，對于提升數學觀察和數學思考能力都有直接的、積極的作用.提升這樣的數學科學態度，能助力數學科學的發展進步.

其三，“九族制等差遞進式列數方法”圖譜和用組合計算方法求不同多位數的對稱數的過程，其本身就是數學思想的擴充與發展.人們一旦具備了這樣的數學思想，就能夠從容面對紛紜復雜的情境，進而冷靜思考、深入研判.再者，位數較多多位數的對稱數數量問題是一個富有挑戰性的問題，可能會喚起眾多愛好者去探究.

2.讓“對稱數”走進中小學數學課本

2005年全市小學畢業考試，我命制了“像121，454這樣的數叫作對稱數，請寫出一個是五位數的對稱數（）”的填空題，結果80%以上的學生都寫出來了，這說明在小學進行對稱數教學是可行的.同時，“對稱數”研究起源于中國大地上，理應走進我國中小學數學課本.

可以考慮按照對稱數知識的層次性，分別在中小學數學課本里各編排一、兩個章節的“對稱數”教學內容.小學課本宜在“比和比例”之后作安排，小學教學“對稱數”至少有如下兩個好處.

（1）有利于發展數感

對稱數是很有特色的一類數，學生認識對稱數時，首先是從它的數相特征去體悟的，這種由數相而認識對稱數的過程就是數感.很顯然，學生認識對稱數過程中，直觀、敏捷的數感能力也會隨之發展.

（2）有利于發展數學能力

對稱數的基本性質這一塊是極好的小學數學教學內容.具體教學時，教師先舉出62332616235326這一組數，讓學生以比對的方法，發現“對稱數去掉或添上對稱軸數，結果一定是對稱數”的規律.接著，再出示一些素材，要求學生用比對、計算的做法去探索對稱數的其他規律.在教師的引領和學生自己相互啟發、共同幫助下能夠得出：①對稱數去掉或添上兩個或幾組相對應的數，結果一定是對稱數；②在不進位加、不退位減的條件下，對稱數的兩個相對應的數加、減同一個數，或整個對稱數各位上的數同時加、減同一個數，結果一定是對稱數；③對稱數相對應的兩個數的比或幾組相對應的數的和的比，一定是1∶1；④同一種檔級對稱數中任意兩個對稱數相加減，在不進位加、不退位減的條件下，結果一定是對稱數.

與分數基本性質、比的基本性質教學相比，對稱數知識教學中不僅發現規律的途徑別樣，而且規律內容的寬泛性也是前者不可比擬的，因而更能有效地發展學生的數學能力.這些就是“對稱數”的教學意義所在.

如果在中學的“組合”后安排對稱數教學，不僅能使學生意識到對稱數其實是一種特殊組合的數，而且可以讓學生用組合的方法去求多位數中的對稱數的數量來，并由此深入到對稱數率的探索中.此外，“等差數列”一章可提出兩個公差相等或不相等的由對稱數構成的等差數列，讓學生去探究這些等差數列之間的關系，以拓展等差數列知識的寬度，深化對等差數列的認識.

3.張揚均衡、和諧理念

對稱數的結構形式，既有均衡之性，又有和諧之意.

于是，人們造物、立事都應秉承均衡、和諧之義.比如機器制造，哪怕是一塊鐵片的薄厚、螺孔之間的相應位置都要講究均衡性，否則會因其受力不勻而發生炸裂的嚴重后果.又如生態系統，各物種之間必須相互依存，均衡發展，切不可有欺小凌弱、一花獨放的局面.再大到治山、治水、治理社會的活動，我們更應切實遵循均衡性、和諧性規律.

此外，探索對稱數與生產、生活、科學技術的相互關聯，關注對稱數的實際應用也是對稱數研究的重要目標之一.