等價無窮小的替換在加減法中的應用

羅誠 李莉

【摘要】眾所周知待定型極限的求法有很多種，其中利用等價無窮小替換的方法相當方便，往往能起到化繁為簡的作用.但美中不足的是在無窮小的乘法和除法中可以直接運用，而在加減法中應用卻不是很方便，這一點很多讀者都很難掌握，本文研究了無窮小及其性質，旨在介紹一種在加減法中應用等價無窮小替換求待定型極限的方法.

【關鍵詞】極限；等價無窮小；主部；基本無窮小；替換

前 言

很多高等數學教材中都介紹了等價無窮小的替換在待定型極限中的應用，且給出了以下定理：已知α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），且limα′（x）[]β′（x）存在，則lim[α（x）·β（x）]=lim[α′（x）·β′（x）]，limα（x）[]β（x）=limα′（x）[]β′（x）.

該定理告訴我們，等價無窮小的替換可以用在無窮小的乘、除法中，但沒有告訴我們能不能用在加減法中，更沒有告訴我們在加減法中該如何用.

一、等價無窮小的性質定理

定義1 在所研究的無窮小內選出一個（比如α）作為一種標準，把它稱為基本無窮小.

基本無窮小的選取在某種程度內是任意的，但通常總取最簡單的，如被考察的量都是x的函數，而當x趨向于a時成為無窮小，那么根據a是零、是異于零的有限數或是無窮大，那么選取x，x-a，1[]x作為基本無窮小.

定義2 設α為基本無窮小，若limβ[]cα琸=1，則β～cα琸，那么稱與給定的無窮小β等價的這個簡單的無窮小cα琸為β的主部（或主項）.

定理1 已知兩無窮小β和γ的主部是cα琸及c′α琸′，若k≠k1，則β+γ可以分別用等價無窮小替換，且β+γ的主部為cα琸及c′α琸′中次方最低者.

證明 不妨設k

定理2 已知兩無窮小β和γ的主部是cα琸及c′α琸′且k=k′，若c+c′≠0，則β+γ的主部為（c+c′）α琸，即可以用等價無窮小進行替換；若c+c′=0（主部相消），則β+γ是比cα琸及c′α琸′更高階的無窮小，此時不可以用等價無窮小直接替換，應分別考慮更高階的無窮小進行替換.

證明 當c+c′≠0時，因為limβ+γ[]（c+c′）α琸=limβ[]（c+c′）α琸+limγ[]（c+c′）α琸=c[]c+c′+c′[]c+c′=1，所以β+γ的主部為（c+c′）α琸；當c+c′=0，因為limβ+γ[]cα琸=limβ[]cα琸+limγ[]cα琸=limcα琸[]cα琸+limc′α琸[]cα琸=limcα琸[]cα琸+lim-cα琸[]cα琸=1-1=0.

同理可得limβ+γ[]c′α琸=0.所以β+γ是比cα琸及c′α琸′更高階的無窮小.

二、待定型極限的求法舉例

例1 求limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2e4x-2的值.

解 limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2e4x-2=limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2（e4x-1）=limx→0x2-2x[]8x=-1[]4.

例2 求limx→0sin2x-tan3x[]（1+3x）2-1.

解 limx→0sin2x-tan3x[]（1+3x）2-1=limx→02x-3x[]6x=-1[]6.

例3 求limx→0tanx-sinxx3.

解 此題分子中tanx和sinx的主部都是x，明顯是主部相消，據泰勒公式有tanx=x+1[]3x3+o（x3），sinx=x-1[]6x3+o（x3）.

所以limx→0tanx-sinx[]x3=limx→01[]3x3--1[]6x3[]x3=1[]2.

【參考文獻】

[1]菲赫金哥爾茨著.微積分學教程（第一卷）.北京：高等教育出版社，2006.

[2]李宗成，李國.泰勒公式在無窮小（大）量階的估計中的應用.高等數學研究，1996（2）.

[3]吳漢華.關于無窮小的等價替換及其推廣.閩西職業技術學院學報，2005（2）.