導數思想在高考解題中的應用

彭耿鋒

【摘要】作為高考熱點之一，導數在高中數學中有著舉足輕重的作用，是聯系高等數學與初等數學的紐帶，是高中數學知識的一個重要交匯點，是聯系多個章節內容以及解決相關問題的重要工具.本文通過例題來說明導數在高考解題中的應用，比如在數列、函數、不等式證明等方面的綜合應用.

【關鍵詞】導數；函數；單調性；最值；數列

高考熱點詞導數在高中階段處于一種特殊的地位，是聯系高等數學與初等數學的紐帶，是高中數學知識的一個重要交匯點，是聯系多個章節內容以及解決相關問題的重要工具.本文通過對導數在中學數學解題應用中的探討，拓展學生的解題思路，提高學生分析問題和解決問題的能力.

1.導數在求函數零點中的應用

零點問題即求函數圖像與x軸交點的個數，解決此類問題就是利用數形結合及零點存在性定理.

例1 （2012年高考福建文）已知函數f（x）=axsinx-32，（a∈R），且在0，π2上的最大值為π-32.

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）判斷函數f（x）在（0，π）內的零點個數，并加以證明.

解析 （Ⅰ）∵f′（x）=asinx+xcosx，x∈0，π2，∴sinx+xcosx>0，當a=0時，f（x）=-32，不合題意；當a<0時，f′（x）<0，f（x）單調遞減，f（x）璵ax=f0=-32，不合題意；當a>0時，f′（x）>0，f（x）單調遞增，f（x）璵ax=fπ2=π-32.∴a=1.綜上f（x）=xsinx-32.

（Ⅱ）f（x）在（0，π）上有兩個零點.證明如下：由（Ⅰ）知f（x）=xsinx-32，f（0）=-3[]2<0，fπ[]2=π-3[]2>0，∴f（x）在0，π2上至少有一個零點.又由（Ⅰ）知f（x）在0，π2上單調遞增，故在0，π2上只有一個零點，當x∈π2，π時，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，則gπ2=1>0，g（π）=-π<0，所以g（x）在π2，π上連續，∴m∈π2，π，g（m）=0，g′（x）=2cosx-xsinx<0，∴f（x）在π2，π上遞減，當x∈π2，π時，g（x）>g（m）=0，f′（x）>0，f（x）遞增，∴當m∈π2，π時，f（x）≥fπ2=π-32>0.∴f（x）在（m，π）上遞增.∵f（m）>0，f（π）<0，∴f（x）在（m，π）上只有一個零點.綜上，f（x）在（0，π）上有兩個零點.

點評 本題主要考查函數的最值、零點、單調性等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、考查函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化化歸思想.

2.導數在求函數的最（極）值中的應用

求函數的最（極）值是高中數學的重點，也是難點，是高考經常要考查的內容之一，它涉及了函數知識的很多方面，用導數解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，也容易掌握，從而進一步明確了函數的性態.一般地，函數f（x）在閉區間a，b上可導，則f（x）在a，b上的最值求法：求可導函數f（x）的極值的一般步驟和方法是：

①求導數f′（x）；②求方程f′（x）=0的根；③檢驗f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數y=f（x）在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，右側附近為正，那么函數y=f（x）在這個根處取得極小值.

對于在[a，b]連續，在（a，b）可導的函數f（x）的最值的求解，可先求出函數在（a，b）上的極大（小）值，并與f（a），f（b）比較即可得出最大（小）值.

例2 （2012年高考重慶文）已知函數f（x）=ax3+bx+c在x=2處取得極值為c-16.

（1）求a，b的值；（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最大值.

解析 （Ⅰ）因f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b.由于f（x）在點x=2處取得極值，

故有f′（2）=0，f（2）=c-16，即12a+b=0，8a+2b+c=c-16，化簡得12a+b=0，4a+b=-8，解得a=1，b=-12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f（x）=x3-12x+c，f′（x）=3x2-12，令f′（x）=0，得x1=-2，x2=2.當x∈（-∞，-2）時，f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數；當x∈（-2，2）時，f′（x）<0，故f（x）在（-2，2）上為減函數；當x∈（2，+∞）時，f′（x）>0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數.

由此可知f（x）在x1=-2處取得極大值f（-2）=16+c，f（x）在x2=2處取得極小值f（2）=c-16.由題設條件知16+c=28，得c=12，此時f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=c-16=-4，因此f（x）上[-3，3]的最小值為f（2）=-4.

點評 本題主要考查函數的導數與極值、最值之間的關系，屬于導數的應用.①先對函數f（x）進行求導，根據f′（2）=0，f（2）=c-16.求出a、b的值.（2）通過列表比較函數的極值與端點函數值的大小，端點函數值與極大值中最大的為函數的最大值，端點函數值與極小值中最小的為函數的最小值.

3.導數在單調性上的應用

函數的單調性是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質.函數的單調性與函數的導數密切相關，運用導數知識來討論函數單調性時，結合導數的幾何意義，只需考慮f′（x）的正負即可，當f′（x）>0時，f（x）單調遞增；當f′（x）<0時，f（x）單調遞減.此方法簡單快捷而且適用面廣.

例3 （2012年高考山東文）已知函數f（x）=lnx+ke琸（k為常數，e=2.71828是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點1，f（1）處的切線與x軸平行.

（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的單調區間；（Ⅲ）略.

解析 （Ⅰ）f′（x）=1x-lnx-ke瑇，由已知，f′（1）=1-ke=0，∴k=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=1x-lnx-ke瑇.設k（x）=1x-lnx-1，則k′（x）=-1x2-1x<0，即k（x）在（0，+∞）上是減函數，由k（1）=0知，當00，從而f′（x）>0，當x>1時k（x）<0，從而f′（x）<0.綜上可知，f（x）的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（1，+∞）.

點評 本題主要是切線定義的理解及單調性的簡單應用，特別注意函數的定義域，此題型應熟練掌握.

4.導數在求切線方程中的應用

此種題型分為點在曲線上和點在曲線外兩種情況，f′（x0）的幾何意義就是曲線在點P（x0，f（x0））處切線的斜率，過P點的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但應注意點P（x0，f（x0））在曲線y=f（x）上，否則易錯.

例4 （2012年高考廣東理）曲線y=x3-x+3在點1，3處的切線方程為.

解析 y′=3x2-1，當x=1時，y′=2，此時k=2，故切線方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0.

點評 本小題弄清楚點是否在曲線上，然后再用求導的方法求切線.如本題改成在0，1處切線方程又該如何求呢，留給讀者自行證明.

5.導數在不等式證明中的應用

例5 （2012年高考遼寧文）設f（x）=lnx+x-1.

證明：（Ⅰ）當x>1時，f（x）<3[]2（x-1）；（Ⅱ）當1

解析 （Ⅰ）（法1）記g（x）=lnx+x-1-3[]2（x-1），則當x>1時，g′（x）=1[]x+1[]2x-3[]2<0.又∵g（1）=0，

∴g（x）<0，即f（x）<3[]2（x-1）.

（法2）由均值不等式，當x>1時，2x

令k（x）=lnx-x+1，則k（1）=0，k′（x）=1[]x-1<0，

∴k（x）<0，即lnx

由①②得，當x>1時，f（x）<3[]2（x-1）.

（Ⅱ）（法1）記h（x）=f（x）-9（x-1）[]x+5，由（Ⅰ）得，

h′（x）=1[]x+1[]2x-54[]（x+5）2=2+x[]2x-54[]（x+5）2

令g（x）=（x+5）3-216x，則當1

（法2）記h（x）=（x+5）f（x）-9（x-1），則當1

點評 本題主要考查導數公式，以及利用導數，通過函數的單調性與最值來證明不等式，考查轉化思想、推理論證能力、運算能力、應用所學知識解決問題的能力，難度較大.

6.導數在數列問題中的應用

數列求和是數學中比較常見的問題，也是學生難以掌握的問題，既可用常規方法求數列的和，也可借助導數這一工具，用導數的相關性質來解決此類問題，常可化繁為簡，化難為易.

例6 求1+2x+3x2+…+nx琻-1，（x≠0，x≠1，n∈N*）.

解析 因x+x2+x3+…+x琻=x-x琻+11-x，兩邊都是關于x的函數，兩邊求導得

1+2x+3x2+…+nx琻-1=x-x琻+11-x′=1-（n+1）x琻+nx琻+1（1-x）2.

點評 本題即是高中常見的錯位相減題，若用導數去解，可化繁為簡，讀者不妨可利用此方法自行求和：S璶=C1璶+2C2璶+3C3璶+…+nC琻璶，（n∈N*）.