淺談事件的互斥、對立和獨立

嚴鈞 劉小艷

事件的互斥、對立和獨立是幾個容易混淆的概念，所以有必要比較這幾個概念的異同點，首先我們來敘述一下這幾個概念的定義.

如果兩個事件A與B不可能同時發生，即滿足A∩B=Φ，則稱A與B互斥；

如果A與B有且僅有一個發生，即滿足A∩B=Φ，A∪B=Ω，則稱A與B對立；如果A與B滿足P（A∩B）=P（A）P（B），則稱A與B獨立.

這三個概念都是考慮兩個事件之間的相互關系，我們不妨就從數學上的“關系”角度來考慮這三個概念，看它們是否符合“等價關系”，也即看它們是否有反身性、對稱性和傳遞性.具體的，對集合Ω，設R是關于Ω中的元素的條件，如果Ω中的兩個元素A與B滿足條件R，則稱A與B有關系R，記為ARB，否則稱A與B無關系R.如果對Ω中任意的元素A，都有ARB，則R有反身性；如果ARB，則BRA，則稱R有對稱性；如果ARB，且BRC，則ARC，則稱R有傳遞性.下面我們就來具體討論一下，互斥、對立、獨立之間是否滿足反身性、對稱性和傳遞性.

反身性：

r如果A與A互斥，由定義可知：A∩A=Φ，則A為不可能事件Φ，也就是說與自身互斥的事件只能是不可能事件.

r如果A與A對立，由定義：A∩A=Φ且A∪A=Ω，即A=Φ，并且A=Ω，矛盾，也就是說一個事件不可能與自身對立.

r如果A與A獨立的話，則有獨立性的定義可知：P2（A）=P（A），即：P（A）=0或P（A）=1，如果P（A）=0，則A的選擇有很多，例如A=Φ∪N，其中N為零測度集，即P（N）=0，一個特別的情形就是A=Φ.對于P（A）=1的情形，我們可以取A=Ω＼N，其中P（N）=0.總之，如果A與A獨立的話，則A的選擇可能有無窮多種，顯然并不是所有事件都能與自身獨立，例如概率小于1的事件不可能與自己獨立.

由此我們可以得到：互斥、對立、獨立不滿足反身性.

對稱性：

r如果A與B互斥，顯然B與A也是互斥的，這是因為兩個事件的交運算滿足交換律.

r如果A與B對立，顯然B與A也是對立的，這是因為兩個事件的交運算和并運算（有時也稱為和運算）滿足交換律.

r如果A與B獨立，顯然B與A也是獨立的，這是因為兩個事件的交運算和兩個數的乘法運算滿足交換律.

由此我們可以得到互斥、對立和獨立都滿足對稱性，這是由交運算、并運算和兩個數乘法運算的可交換性所決定的.

傳遞性：

r如果A與B互斥，B與C互斥，則A與C可能相容，也可能互斥.例如，取Ω={1，2，3，4}，如果A={1}，B={2}，C={3}，則A與B，B與C，A與C都是互斥的；如果A={1，2}，B={4}，C={1，3}，則A與B互斥，B與C互斥，但A與C不是互斥的，圖示如下.

r如果A與B對立，B與C對立，則A=C，而不是A與C對立.事實上，因為A與B對立，所以B=A，若B與C對立，即A與C對立，因此，C=A==A，其中A表示A的對立事件.

r如果A與B獨立，且B與C獨立，則A與C不一定獨立.我們通過舉例來說明.

例 取Ω={ω1，ω2，ω3，ω4}，四個基本事件是等可能發生的，也就是說，P（{ω1}）=P（{ω2}）=P（{ω3}）=P（{ω4}）=1[]4.

第一種情況：取事件A={ω1，ω2}，B={ω1，ω3}，C={ω1，ω4}，則由古典概型的計算公式：P（A∩B）=P（A）P（B），P（B∩C）=P（B）P（C），P（A∩C）=P（A）P（C），即事件A，B，C是兩兩獨立的.

第二種情況：取事件A={ω1，ω2}，B={ω1，ω3}，C={ω1，ω4}，則由古典概型的計算公式：P（A∩B）=P（A）P（B），P（B∩C）=P（B）P（C），但是我們有P（A∩C）=P（Φ）=0≠1[]4=P（A）P（C），即事件A與B，B與C是相互獨立的，但A與C不是獨立的.

所以，我們可以得到：互斥、對立和獨立都不滿足傳遞性.

綜上所述，互斥、對立和獨立都是滿足對稱性，而不滿足反身性和傳遞性，所以它們都不是等價關系.

下面我們來討論一下互斥、對立和獨立的相互關系.首先，我們來看一下互斥和對立之間的關系.從互斥和對立的定義可以看出，如果兩個事件是對立的，則它們一定是互斥的，反之不成立.事實上，對立是一種特殊的互斥.

典型例題：對飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設A={兩次都擊中}，B={每次都沒有擊中}，C={恰有一次擊中}，D={至少有一次擊中}，其中彼此互斥的事件是：A與B，A與C，B與C，B與D，對立事件是：B與D.

下面我們主要來看一下對立和獨立的關系.

r如果兩個事件A與B對立，則P（A∩B）=0，所以要使得A與B獨立，則P（A）與P（B）至少有一個為0，例如，A=Φ，B=Ω時，A與B獨立，需要指出的是，此時的A與B并不是唯一確定的，我們可以取A=N，B=Ω-N，其中，N是任意滿足P（N）=0的事件（即N是任意的概率為0的集合），則A與B是對立并且是獨立的.但是如果P（A）P（B）>0，則A與B不可能是獨立的，即如果兩個事件對立，它們的獨立性是無法判斷的.

r如果兩個事件A與B獨立，則A與B的可能對立，也可能不對立.例如，取A=B=Φ，或者A=B=Ω，則A與B獨立，但它們顯然不是對立的；如果我們取A=Φ，B=Ω，則A與B獨立，并且A與B是對立的.事實上，我們要從P（A∩B）=P（A）P（B）得到A∩B=Φ是不可能的，因為前者刻畫的是事件的概率之間的關系，而后者刻畫的是事件本身之間的關系.

總之，對立和獨立之間沒有必然的聯系，更進一步，我們知道討論兩個事件之間的對立的時候，我們所基于的前提是樣本空間Ω，而在討論兩個事件之間獨立性的時候，我們所基于的是概率空間（Ω，F，P），其中F稱為σ代數，而P為概率.