小議“二次根式中字母的取值范圍”

王俊

二次根式的學(xué)習(xí)是在平方根、算術(shù)平方根知識(shí)的基礎(chǔ)上建立的，所以從二次根式的定義、性質(zhì)到二次根式的每一條計(jì)算法則和化簡(jiǎn)法則，字母都有相應(yīng)的取值范圍，以保證二次根式有意義和計(jì)算、化簡(jiǎn)的順利進(jìn)行，現(xiàn)羅列如下：

二次根式的定義：一般地，式子a（a≥0）叫做二次根式.

二次根式的性質(zhì)：當(dāng)a≥0時(shí)，a≥0（二次根式的雙重非負(fù)性）.

二次根式的計(jì)算或化簡(jiǎn)法則：

1.當(dāng)a≥0時(shí)，（a）2=a.

2.a2=|a|=a（a≥0）.

-a（a<0）.

3.二次根式的乘法法則：a·b=ab（a≥0，b≥0）.

逆之得積的算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)法則：ab=a·b（a≥0，b≥0）.

4.二次根式的除法法則：a[]b=a[]b（a≥0，b>0）.

逆之得商的算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)法則：a[]b=a[]b（a≥0，b>0）.

筆者發(fā)現(xiàn)，二次根式中字母的取值范圍是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，有時(shí)是解決問題的關(guān)鍵，有時(shí)也是學(xué)生解題時(shí)比較容易出錯(cuò)的地方，需要引起足夠的重視.現(xiàn)舉例如下：

一、確定字母的取值范圍

例1 能使-（x-5）2有意義的實(shí)數(shù)x的值有（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

解析 由題意得-（x-5）2≥0，所以（x-5）2≤0，則x=5，選擇B.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)二次根式的定義得：當(dāng)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，二次根式有意義.很多時(shí)候這個(gè)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常還與其他知識(shí)綜合考查.

例2 要使式子a+2[]a有意義，a的取值范圍是.

解析 由題意得a+2≥0，

a≠0，可得a的取值范圍是a≥-2且a≠0.

點(diǎn)評(píng) 此題將二次根式有意義與分式有意義綜合在一起考查，需要對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)確把握，學(xué)生經(jīng)常顧此失彼，或混淆知識(shí)從而出錯(cuò).

例3 如果（2m-1）2=1-2m，則（）.

A.m<1[]2B.m≤1[]2

C.m>1[]2D.m≥1[]2

解析 由題意得2m-1≤0，m≤1[]2，選擇B.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)上述第2條化簡(jiǎn)法則，對(duì)比得到此題化簡(jiǎn)實(shí)質(zhì)為：a2=-a，進(jìn)而推出a≤0解決問題，許多學(xué)生解題時(shí)經(jīng)常會(huì)漏考慮a=0的情況從而出錯(cuò).

例4 式子3-x[]x-1=3-x[]x-1成立的條件是（）.

A.x≥3B.x≤1

C.1≤x≤3D.1

解析 由題意得3-x≥0，x-1>0，

解得1

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)上述第4條化簡(jiǎn)法則a[]b=a[]b（a≥0，b>0）進(jìn)行解答，若忽略對(duì)分母的考慮，和第3條化簡(jiǎn)法則混淆，認(rèn)為a≥0，b≥0就會(huì)出錯(cuò)，所以極易混淆的知識(shí)點(diǎn)要多比較，以提高辨別能力.

二、準(zhǔn)確抓住字母的取值范圍解決問題

1.已知字母取值范圍

例5 實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（a-4）2+ぃ╝-11）2化簡(jiǎn)后為（）.

A.7B.-7

C.2a-15D.無法確定

解析 由題意得50，a-11<0，化簡(jiǎn)得：

原式=|a-4|+|a-11|=（a-4）+（11-a）=7，故選擇A.

點(diǎn)評(píng) 本題由實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置確定a的取值范圍，從而順利解決化簡(jiǎn)問題，此題字母a的取值范圍是化簡(jiǎn)得以正確進(jìn)行的關(guān)鍵.

2.挖掘隱含的字母取值范圍

例6 已知y=2x-5+5-2x-3，則2xy的值為（）.

A.-15B.15

C.-15[]2D.15[]2

解析 此題中2x-5，5-2x是兩個(gè)二次根式，應(yīng)先考慮它們有意義，得2x-5≥0，

5-2x≥0，從而得出x=5[]2，代入原式得出y=-3，所以2xy=-15，選擇A.

點(diǎn)評(píng) 此題所涉及的兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，它們要同時(shí)大于或等于0，只有每一個(gè)被開方數(shù)都等于0，從而得出x，y的值解決問題.

例7 已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足1+x-（y-1）1-y=0，那么x2011-y2001=.

解析 仔細(xì)觀察題目發(fā)現(xiàn)：1-y前的系數(shù)-（y-1）=1-y，所以應(yīng)先考慮1-y是有意義，得1-y≥0，從而將原式轉(zhuǎn)化成1+x+（1-y）1-y=0，又因?yàn)?+x≥0，（1-y）1-y≥0，所以1+x=0，

（1-y）1-y=0，

從而解得x=-1，

y=1，故x2011-y2011=-2.

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件中第二項(xiàng)的系數(shù)與二次根式中的被開方數(shù)相同，利用二次根式所隱含的取值范圍得出第二項(xiàng)整體是一個(gè)非負(fù)數(shù)，再根據(jù)“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0”順利解決問題.

例8 已知a=2-3，化簡(jiǎn)求值：1-2a+a2[]a-1-a2-2a+1[]a2-a-1[]a.

解析 原式=（a-1）2[]a-1-（a-1）2[]a（a-1）-1[]a

=（a-1）2[]a-1-|a-1|[]a（a-1）-1[]a.

∵a=2-3<1，

∴原式=（a-1）2[]a-1-（1-a）[]a（a-1）-1[]a=a-1+1[]a-1[]a=a-1=2-3-1=1-3.

點(diǎn)評(píng) 此題關(guān)鍵是抓住a=2-3<1，將（a-1）2化簡(jiǎn)為1-a，否則將會(huì)非常容易出錯(cuò).

3.沒有字母取值范圍時(shí)需分類討論

例9 已知xy=3，那么xy[]x+yx[]y的值.

解析 因?yàn)閤y=3且y[]x≥0，x[]y≥0，所以x>0，y>0和x<0，y<0都符合題意.需分兩種情況討論，現(xiàn)提供兩種不同解法：

解法一 直接化簡(jiǎn)

①若x>0，y>0，原式=xxy[]x2+yxy[]y2=x·xy[]x+y·xy[]y=2xy=23.

②若x<0，y<0，原式=xxy[]x2+yxy[]y2=x·xy[]-x+y·xy[]-y=-2xy=-23.

解法二 先平方，再開方.

xy[]x+yx[]y2=xy[]x2+2·xy[]x·yx[]y+yx[]y2=xy+2xy+xy=4xy=12.

①若x>0，y>0，則xy[]x+yx[]y>0，原式=23.

②若x<0，y<0，則xy[]x+yx[]y<0，原式=-23.

所以應(yīng)填：±23.

點(diǎn)評(píng) 此題條件只告訴我們x，y同號(hào)，所以必須分兩種情況討論，學(xué)生往往只注意第一種情況，從而漏解，所以解題時(shí)思維要縝密謹(jǐn)慎.

綜上所述，二次根式的有關(guān)問題解決中，必須要注意每一條法則所含的字母取值范圍，只有正確并熟練地運(yùn)用這些條件才能確保解題的正確性.教學(xué)時(shí)教師應(yīng)立足基本知識(shí)點(diǎn)，善于將題目歸類，總結(jié)解題方法，讓學(xué)生熟悉各種題型的解題技巧，同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行反思和總結(jié)，提高解題能力.