從函數的角度來研究數列的一點思考

劉書霞

【摘要】數列是一種特殊的函數，在研究數列問題時我們可以利用函數的圖像和性質輔助于我們來解決數列的一些比較麻煩的問題，來開闊學生的思路.

【關鍵詞】函數；數列；數列通項公式；函數圖像

數列是一種特殊的函數，定義域為正整數集或其子集的一類函數，所以我們研究數列時可以從式上利用函數的思想對數列加以研究，這樣更利于我們的教學，更利于學生去理解和掌握.近幾年的高考中對數列的最值問題考查得比較多，而這一問題也是學生學習的難點，那么我們教師如何幫助學生突破這些難點呢？

下面我們通過幾個例子幫助學生從函數角度理解數列問題.

例1 已知數列{a璶}滿足a璶=n-2011[]n-2012，（n∈N*），求數列{a璶}中最大項.

分析 拿到題目很多學生會覺得很茫然，題目中含有n-2011[]n-2012這樣復雜的分式，無從下手.這時我們試著引導學生從函數的角度去研究該題，會使整個思路打開.

解析 a璶=n-2011[]n-2012=1+2012-2011[]n-2012.

此時我們可以研究函數f（x）=x-2011[]x-2012，（x>0）的最值問題.

而函數f（x）=x-2011[]x-2012是以（2012，1）為中心的反比例函數，我們可以通過它的圖像從形的角度去解決該題.通過圖像我很自然地發現當x從大于2012的方向逼近直線x=2012時，f（x）值趨向正無窮大，而a璶=n-2011[]n-2012所對應的圖像是函數f（x）=x-2011[]x-2012圖像中橫坐標為正整數的一些離散的點.n=45時，a璶取得最大值a45=45-2011[]45-2012.

總結 從這一題我們可以發現當碰到類似的問題時，我們只要抓住{a璶}的通項是關于n的函數的特點，可以其圖像輔助解決.

題目 設n∈N*，n≥2，求無窮數列2，3[]3，4[]4，…，n[]n，…的最大項.（源自《數學與測試》蘇州大學出版社）

例2 等差數列{a璶}滿足a璸=q，a璹=p求a璸+q.

分析 很多同學拿到這個題目心中立馬就有方法了.我找了兩名比較有代表性的同學解答.

甲同學：因為a璸=q，a璹=p，得到a1+（p-1）d=q，

a1+（q-1）d=p，

解得a1=p+q-1，

d=-1.

故得a璸+q=a1+（p+q-1）d=0.

乙同學：a1=a璸-a璹[]p-q=-1，所以a璸+q=a璸+qd=0.

這兩名同學就是通過求等差數列的基本量a1，d的方法來解決該題目的.但是如果我們深層次地挖掘一下，等差數列的通項公式是關于n的一次函數，前n項和公式是關于n的常數項為0的二次函數.這時我們知道一次函數的圖像是一條直線，那么等差數列的通項是分布在這一次函數圖像上的一些離散的點.

解析 因為{a璶}是等差數列，那么（n，a璶）（n∈N*）是共線點，即（p，q），（q，p），（p+q，a璸+q）三點是共線的，

然后就可以利用斜率相等來求.

q-p[]p-q=a璸+q-p[]p+q-q，解得a璸+q=0.

題目 等差數列{a璶}滿足s璵=n，s璶=m，求s璵+n=？

分析 因為前n項和公式s璶是關于n的常數項為0的二次函數，所以s璶=An2+Bn，即有s璶[]n=An+B，此時我們把這列問題又化歸到了剛才的那個問題了，利用n，m[]n，m，n[]m，m+n，s璵+n[]m+n三點共線來解決了.

總結 這研究等差數列問題的兩小題，我們是從{a璶}的通項a璶和前n項和s璶都是關于n的函數，從函數的圖像出發，利用點共線來解決的.

函數和數列之間的聯系緊密，我們在教學數列這一塊時，不妨不斷地引導學生利用函數思想去解決數列問題，讓學生去總結類似的思想方法，讓學生學習數學不再那么痛苦，學得輕松愉快.