把握數(shù)學(xué)本質(zhì) 促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

建構(gòu)主義者認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成對(duì)教師所授予的被動(dòng)的接受，而是以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的建構(gòu)過程；理解并不是指學(xué)生要弄清教師的本義，而是指學(xué)生能聯(lián)系已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)教師所傳授的內(nèi)容達(dá)成數(shù)學(xué)理解。在教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，有部分學(xué)生對(duì)知識(shí)理解深刻，能舉一反三，融合貫通，具有創(chuàng)新能力；而部分學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解只停留在表面上，形式地記住了某個(gè)概念的詞句，但并不知道概念的本質(zhì)屬性，會(huì)套用公式、法則，但不知道公式的來龍去脈，往往出現(xiàn)“知其然，而不知其所以然”這樣的情況，主要是目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多老師只重視知識(shí)的結(jié)果和通過習(xí)題訓(xùn)練形成的技能。數(shù)學(xué)教學(xué)只有重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)理解的過程，構(gòu)建促進(jìn)學(xué)生理解的數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注和把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)與聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生在課堂中主動(dòng)探索、主動(dòng)建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)豐富的情境，設(shè)計(jì)促進(jìn)思維的學(xué)習(xí)任務(wù)。

影響學(xué)生數(shù)學(xué)理解的重要因素是學(xué)生是否具有“理解”的心向，即是否能通過自己積極的思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和規(guī)律認(rèn)識(shí)的心理愿望。具體地說，學(xué)生具有學(xué)習(xí)的好奇心，想投入到某項(xiàng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)中去，那是因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)中激發(fā)學(xué)生“理解”的意向，使學(xué)生積極主動(dòng)調(diào)動(dòng)自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與所學(xué)知識(shí)相應(yīng)或相關(guān)的認(rèn)知圖式，全神貫注地投入到學(xué)習(xí)中去。在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，應(yīng)力圖有多種多樣的呈現(xiàn)形式，以寬松的、開放的活動(dòng)讓學(xué)生“大展拳腳”，容許、肯定、接納多樣性的答案而非唯一的理解，并且在此過程中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己的想法，讓他們?cè)傧嗷ゼぐl(fā)，使他們的理解不斷得到提升，從而獲得自己獨(dú)有的，可能是超越教師預(yù)知的理解。

例如：在教學(xué)長(zhǎng)方體和正方體的體積公式推導(dǎo)時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)這樣的活動(dòng)情境：用若干個(gè)1立方厘米的正方體擺出4個(gè)不同的長(zhǎng)方體，并填寫下表：

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解往往起源于自我的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并且在學(xué)習(xí)過程中自主地建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解。學(xué)生開始在理解長(zhǎng)方體體積大小時(shí)，都是用1個(gè)體積單位去度量，目標(biāo)單純地指向個(gè)清點(diǎn)小正方體的個(gè)數(shù)。這個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，注意激發(fā)了學(xué)生的思維投入，而不僅僅是以掌握知識(shí)為目的，幫助學(xué)生生成正確的數(shù)學(xué)表象，初步感知了長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高與長(zhǎng)方體體積的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的理解。在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行第二個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)：

用1立方厘米的正方體擺出下面的長(zhǎng)方體，各需要多少個(gè)，先想一想，再擺一擺。

（1）長(zhǎng)：4厘米， 寬：1厘米， 高：1厘米。

（2）長(zhǎng)：4厘米， 寬：3厘米， 高：1厘米。

（3）長(zhǎng)：4厘米， 寬：3厘米， 高：2厘米。

這三個(gè)長(zhǎng)方體的體積分別各是多少立方厘米？

這一活動(dòng)，學(xué)生之間就發(fā)生了明顯的差異，有的學(xué)生還是用前面的方法去擺一擺，再數(shù)一數(shù)；但是有部分對(duì)數(shù)敏感的同學(xué)就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)、寬、高與長(zhǎng)方體體積之間的關(guān)系，會(huì)有猜想，通過擺又進(jìn)行了證實(shí)。從而得出：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。

緊密聯(lián)系，但深度不同的兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解可以經(jīng)歷一個(gè)由淺入深的過程，學(xué)生在感受、選擇、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程中去建構(gòu)自己對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，當(dāng)然不同的學(xué)生可以形成不同層次和水平的理解。

二、經(jīng)歷“再創(chuàng)造”過程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想方法的形成

學(xué)習(xí)不是純粹的模仿和純粹的記憶，要通過合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生提供探索知識(shí)的時(shí)間和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程。

案例：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“平行四邊形面積”計(jì)算方法的“再創(chuàng)造”過程。

教師：我們來回憶一下長(zhǎng)方形的面積（長(zhǎng)是15厘米，寬是10厘米）是如何計(jì)算的，和什方形的什么條件有關(guān)。

學(xué)生回憶。

教師出示1個(gè)平行四邊形，設(shè)計(jì)問題：那么這個(gè)平行四邊形的面積和什么條件有關(guān),該怎么計(jì)算呢？

生：和平行四邊形的邊有關(guān).

教師：這只是我們的猜想，我們需要去驗(yàn)證。老師這里為大家準(zhǔn)備了6個(gè)形狀不同的平行四邊形，它們相鄰的一組邊分別長(zhǎng)15厘米和10厘米，請(qǐng)你思考一下他們的面積分別是多少？

學(xué)生計(jì)算后，反饋交流。

生1：這些平行四邊形的面積都是150平方厘米，因?yàn)橐粭l底長(zhǎng)15厘米，一條底長(zhǎng)10厘米，相乘的結(jié)果是相同的。

生2：我認(rèn)為這些平行四邊形的面積肯定是不相等的，你看這個(gè)平行四邊形這么大（高相對(duì)大的一個(gè)），而這個(gè)平行四邊形這么小（高相對(duì)小的一個(gè)），這兩個(gè)平行四邊形的面積不可能相等的。

教師：這個(gè)同學(xué)提出了一個(gè)值得思考讓大家的問題，看來平行四邊形的面積不僅僅和這兩條底有關(guān)系，究竟和誰(shuí)有關(guān)系呢？

生：平行四邊形的高。

教師：能不能把平行四邊形轉(zhuǎn)化成我們以前學(xué)過的圖形，來找到它面積的計(jì)算方法呢？

生操作活動(dòng)后反饋：

生1：我沿著平行四邊形的高剪開，平移后把它拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。

生2：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原來平行四邊形的一條底，長(zhǎng)方形的寬就是原來平行四邊形的高。雖然平行四邊形變成了長(zhǎng)方形，但是它的面積沒有發(fā)生變化，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

……

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，會(huì)背定義、會(huì)套公式計(jì)算并不等于理解了相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則。平行四邊形的面積教學(xué)不僅要讓學(xué)生知道公式、會(huì)用面積公式進(jìn)行計(jì)算，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索研究平行四邊形面積計(jì)算公式的過程，通過實(shí)踐操作、討論、交流等活動(dòng)，自己探索發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的計(jì)算方法，并領(lǐng)悟到“底×高”的算理，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。也就是說，不僅要會(huì)用“底×高”計(jì)算面積，而且要通過語(yǔ)言表述、實(shí)際操作等解釋“底×高”的意義，并能實(shí)際應(yīng)用，這樣才是真正理解了數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)建構(gòu)自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過程——每一次學(xué)習(xí)活動(dòng)都會(huì)對(duì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)對(duì)象形成一定的理解，并將新的信息納入自己的知識(shí)體系，形成新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和圖式結(jié)構(gòu)。這樣的教學(xué)方式不僅有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，還有助于他們獲取比單純知識(shí)本身更重要的東西——數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力和對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感。

三、提供交流平臺(tái)，讓學(xué)生用自己的方式表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解

由于每個(gè)學(xué)生都在以自己的經(jīng)驗(yàn)為背景建構(gòu)對(duì)新知識(shí)的理解，不同的學(xué)生對(duì)同一知識(shí)有不同角度、不同層次的理解。“新基礎(chǔ)教育”創(chuàng)始人葉瀾教授曾在她的著作中將教學(xué)過程的任務(wù)定位為：使學(xué)生努力學(xué)會(huì)不斷地、從不同方面豐富自己的經(jīng)驗(yàn)世界；努力學(xué)會(huì)實(shí)現(xiàn)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)世界與社會(huì)共有的“精神文化世界”的溝通和富有創(chuàng)造性的轉(zhuǎn)換；逐漸完成個(gè)人精神世界對(duì)社會(huì)共有精神財(cái)富具有個(gè)性化和創(chuàng)造性地占有；充分發(fā)揮人類創(chuàng)造的文化、科學(xué)對(duì)學(xué)生“主動(dòng)、健康發(fā)展”的教育價(jià)值。那么通過不同個(gè)體之間的合作與交流，可使每個(gè)學(xué)生分享他人的精神文化世界，可以互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，超越自己的認(rèn)識(shí)，從而形成更加豐富的理解。教學(xué)時(shí)，教師要組織學(xué)生開展充分的數(shù)學(xué)交流活動(dòng)，鼓勵(lì)和指導(dǎo)學(xué)生有效使用多種語(yǔ)言表達(dá)自己的理解。

案例：用自己的方式表達(dá)對(duì)“小數(shù)性質(zhì)”的理解

師:老師手里有一個(gè)數(shù)，這是幾？

生：4。

師：你們說一下變，它就會(huì)變化了。

師：變成40，變成400。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：在整數(shù)末尾加一個(gè)0，這個(gè)數(shù)就擴(kuò)大10倍；添兩個(gè)0，這個(gè)數(shù)就擴(kuò)大100倍。

生2：在整數(shù)末尾去掉0，這個(gè)數(shù)就縮小10倍；去掉兩個(gè)0，這個(gè)數(shù)就縮小100倍。

師：現(xiàn)在老師手里還有一個(gè)數(shù)0.4，我讓它也發(fā)生變化。變成了0.40.

師：0.4是變大了還是變小了？

生1：變大了。

生2：變小了。

生3：沒變。

師：到底變沒變呢？請(qǐng)同學(xué)結(jié)合0.4和0.40的意義，自己先思考，然后在小組里進(jìn)行討論，把你的想法告訴別人。

學(xué)生討論后交流。

生1：0.4和0.40一樣大的。譬如0.4元是4角，0.40元是40分，40分就是4角。所以0.4和0.40是相等的。

師：很好，你是給它加了一個(gè)相同單位后進(jìn)行比較的。

生2：我也發(fā)現(xiàn)0.4和0.40是相等的，因?yàn)?.4表示4個(gè)十分之一，0.40表示40個(gè)百分之一，也是4個(gè)十分之一，所以是相等的。

師：很好，你利用小數(shù)的意義來比較這兩個(gè)數(shù)的。

生3：發(fā)現(xiàn)0.4和0.40的4都在十分位上，位置沒有變化，所以都表示4個(gè)十分之一。

師：不錯(cuò)，你是利用數(shù)位來比較這兩個(gè)數(shù)的大小的。通過比較你們都發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：0.4和0.40是相等的。

師：也就是說在0.4這個(gè)小數(shù)末尾添上一個(gè)0，小數(shù)的大小沒有發(fā)生變化。如果在0.4這個(gè)小數(shù)末尾添上兩個(gè)0，小數(shù)的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？

……

兒童對(duì)數(shù)學(xué)的理解常常是稚嫩的、不成熟的，但這種理解往往都是合乎常理的，具有個(gè)性的。我們要珍視這種最初的樸素的理解，創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，并抓住契機(jī)進(jìn)行適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生在交流的過程中，進(jìn)一步理清自己的思考方法，分享同學(xué)們的觀點(diǎn)。這樣的教學(xué)，使每一個(gè)學(xué)生都能主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，都有充分的時(shí)間和空間進(jìn)行思考，都能對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問題表達(dá)自己的理解或想法。這樣的課堂，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式也不再是單一的，枯燥的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正成為充滿生命力的過程。

（陸小青，吳江市鱸鄉(xiāng)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，215200）