最值問題淺析

秦天明

最值問題是中考的熱點問題，也是難點問題。受思維定式的影響，不少同學看到最大值或最小值問題，就會想到利用配方法或公式法確定其最大值或最小值。殊不知，這類問題也有多種類型。在解決這類問題的過程中，只有認真分析、周密思考，具體問題具體分析，才能減少不必要的失誤，從而提高正確率。

一、利用不等式（組）求最值

若方程x2+x+a=0無實數根，則a的最小的正整數值為 （）。

分析：首先根據方程根的情況得到⊿=1-4a＜0，求出a的取值范圍，再求最小正整數值。

二、通過建立函數模型用二次函數的頂點坐標公式求最值

1. 某公司經銷一種綠茶，成本為50元／㎏。市場調查發現，在一段時間內，銷售量w(㎏)隨銷售單價x(元／㎏)的變化而變化，具體關系式為w＝-2x+240。設這種綠茶在該段時間內的銷售利潤為y（元），解答下列問題。

（1）求y與x的函數關系式。

（2）當銷售單價x(元／㎏)取何值時，銷售利潤為y的值最大。

分析：

（1）由總利潤=每千克的利潤×千克數可得， y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x+340x-12000.

(2)當x=-=85（元）， y=2450，當 x=85 元時，銷售利潤y的值最大。

2. 某次數學變換游戲中，把整數0，1，2，…，100稱為“舊數”，游戲的變換規則是：將舊數先平方，再除以100，所得到的數稱為“新數”，按照上述規則變換后減小得最多的舊數是（ ）。

分析：本題可以設舊數為x，則“新數”為，設按規則變換后減少的數值為y，則y=x-，當x=-=50時， y最大值=50-=25.

三、通過自變量取值范圍結合函數的增減性求最值

某飲料廠為開發新產品，用A、B兩種果汁原料各19kg、17.2kg，試制甲、乙兩種新型飲料共50kg，下面是試驗相關數據。

設甲種飲料每千克成本為4元，乙種飲料每千克成本為3元，甲種飲料需配制x kg，這兩種飲料的成本總額為y元。

分析：根據題意可列出不等式組：

０＜0.5x+0.2(50-x)≤190＜0.3x+0.4(50-x)≤17.2

解為 28≤x≤30，y=4x+(50-x)3 ，y=x+150 （28≤x≤30）。因為y隨x的增大而增大，要使y最小，則x最小。當x=28千克時，甲、乙兩種飲料的成本總額最少。

四、根據“垂線段最短”求最值

已知：直線y=-x+9與x軸、y軸相交于C、D兩點，直線y=-x-4 與x軸、y軸相交于A、B兩點，F(4，0)是x軸上一點，過C點的直線l垂直于x軸，N是直線l上一點(N點與C點不重合)，連接AN．

（1）求A、D兩點的坐標；

（2）若P是AN的中點，PF=5，猜想∠APF的度數，并說明理由；

（3）連接NF，求△AFN外接圓面積的最小值，并求△AFN外接圓面積的最小時，圓心G的坐標．

分析：

（1）易得A（-6,0），D（0，9）.

（2）易連接PC，易證△PCF∽△ACP，PC2=CF·CA=5×15=75=AP2，PF2=25，AF2=100，∴PA2+PF2=AF2， ∴∠APF=90°

（3）求△AFN外接圓面積的最小值。因為△AFN中AF已確定，故圓心G在AF的垂直平分線上，又⊙G過N，所以GN為半徑。而G為x=-1上一點，故GN為點N到直線x=-1上某一點的距離。要使圓最小，必須GN最短，根據點到直線上一點的線段中，垂線段最短可知GN=MC=10,S最小=100?仔 ，再求出圓心G的坐標為（-1，5）、（-1，-5）.

五、用“兩點之間線段最短”求最值

1. 如圖1，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點，連AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求證：△APE∽△ADQ；

（2）設AP的長為x，試求△PEF的面積S△PEF關于x的函數關系式，并求當P在何處時，S△PEF取得最大值？最大值為多少？

（3）當Q在何處時，△ADQ的周長最小？并求出最小值。（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）

運用這種方法一般可求兩條線段或三條線段之和最短或兩條線段之差最大等問題。

2. 如圖2所示，圣誕老人的帽子是圓錐形，該圓錐的底面半徑為15cm，母線長60cm，要用一根彩帶饒帽子一圈，結點在底邊上。作為帽子的裝飾，請問這根帶子至少需要多長（精確到0.1cm，不計接頭重合部分）？

立體圖形中的最短距離問題一般轉化為平面圖形，再根據“兩點之間線段最短”求最值。本題首先根據圓錐與其側面展開圖的關系求出側面展開圖——扇形的圓心角為90° ，再求弦長BB'。

六、通過數形結合求最值

如圖3，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在x軸上，D在y軸上，AB∥CD，AD＝BC＝ ，AB＝5，CD＝3，拋物線y=-x2+bx+c 過A、B兩點.

（1）求b、c；

（2）設M是x軸上方拋物線上的一動點，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值。

（1）易得b=3c=4

（2）設M點坐標為(a,-a2+3a+4) ,d=a-a2+3a+4. ①當-1

七、利用“a+b≥2”求最值

閱讀理解：對于任意正實數a、b，∵(-)2 ≥0，∴a-2+b≥0，∴a+b≥2，只有當a＝b時，等號成立。

結論：在a+b≥2 （a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2 ，只有當a＝b時，a+b有最小值2．

根據上述內容，回答下列問題：若m＞0，只有當m＝

（ ）時， m+有最小值（）。

探索應用：如圖4，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P為雙曲線y= （x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀。

（1）m=1，最小值為2；

（2）設P(x,) ,則C(x,0),D(0,)，∴CA=x+3,DB=+4,∴S四邊形ABCD=CA×DB=(x+3)×(+4)，化簡得：S=2(x+)+12.

∵ x＞0,＞0，∴x+≥2=6，只有當x=，即x=3時，等號成立。

∴S≥2×6＋12＝24

∴S四邊形ABCD有最小值24.

此時，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5，∴四邊形ABCD是菱形。

（泰興市南沙初中）