例析數形結合之法

林峰

摘要：數形結合的思想在高中數學中占有極其重要的地位。用例題來分析數形結合在解題中的巧妙運用，讓學生自主地發現數形結合的存在，并自然地使用數形結合的方法解題。

關鍵詞： 數形結合；解題；方法

數與形是數學中兩個最古老、最基本的問題，是數學這棟大廈的兩個基石，二者是一對密不可分的矛盾體。每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述。正如美國數學家斯蒂恩也曾說過：“如果一個特定的數學問題可以轉化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。”數形結合的實現，常與以下方面有關：數與坐標軸上的點的對應關系；函數和圖像的相關聯系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的如圓、不等式等概念；含有明顯的幾何意義的等式或代數式；方程與曲線的相關聯系。

在解題時，把抽象的數學語言與直觀的圖形有意識地結合起來，根據問題的特征、特點, 或借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，巧妙利用兩者的“結合”，找到解題思路，使問題得以解決。

“數形結合”思想是數學教學內容的主線之一，在高中數學中占有極其重要的地位。它包含“以形助數”和“以數助形”兩個方面。本文試從“以形助數” 方面，舉例說明其在解決問題中的一些妙用。

一、利用直線斜率的幾何意義巧妙解題

例1：已知方程x2+y2+4x-6y+12=0，求的值域。

解析：方程x2+y2+4x-6y+12=0表示以(-2,3)為圓心,以1為半徑的圓。的幾何意義是求已知圓上的點與點M(1,-1)連線所在直線的斜率的大小,而最值就是兩條切線所在直線的斜率值。那么，利用數形結合就很快求出答案來。

解：如圖1，設過點M(1，-1)的直線方程L為y+1=k(x-1)，即kx-y-k-1=0。圓心（-2，3）到直線L的距離等于1，可得d==1，k1=，k2=。即的值域是[，]。

二、利用兩點間距離公式巧妙解題

例2：已知方程x2+y2+4x-6y+12=0。求：（1）x2+y2的值域，（2）（x-2）2+（y-1)2的值域。

解析：x2+y2的幾何意義是求已知圓上的點與圓點的距離的平方。（x-2）2+（y-1)2的幾何意義，是求已知圓上的點與點M(2,1)的距離的平方。

解：如圖2, x2+y2的最大值是|OB|2=（-2）2+32+1=14，x2+y2的最小值是|OA|2=（-2）2+32-1=12，（x-2）2+（y-1)2的最大值是|OD|2=（-2-2）2+（3-1）2+1=21，（x-2）2+（y-1)2的最大值是|OC|2=（-2-2）2+（3-1）2-1=19，所以x2+y2的值域是[12，14]， （x-2）2+（y-1)2的值域是[19，21]。

例3：求函數y=+的值域。

分析：考察函數式的特點，學生從代數的角度去求解，發現此路非常煩瑣。這時，引導學生思考函數式背后的幾何背景，利用數形結合思想，巧用兩點間距離公式來入手求解。

解：函數式可化為+＝+。

如圖3,令A（-1，1），B（2，3），M（x，0），把問題轉化為在X軸上一點M，求｜MA｜+｜MB｜的值域。如圖3，AB兩點在X軸同一側，故取A關于X軸的對稱點C(-1,-1)，故（｜MA｜+｜MB｜）最小值=|CB|==5,函數y=+的值域是[5，+∞]。

三、利用直線截距的幾何意義巧妙解題

例4： 已知方程x2+y2+4x-6y+12=0，求Z=2x+y的值域。

分析：把Z=2x+y看成y=-2x+Z，Z是直線y=-2x+Z在y軸上的截距。

解：如圖4利用數形結合可知，圓心(-2，3)到切線y=-2x+Z的距離為半徑1,即=1,得Z的最大值為-1，Z的最小值為--1，所以Z的值域是[--1，-1]。

例5：求函數m=+的值域

分析：由于根號內同為n的一次式，若只做簡單換元，也無法轉化出一元二次函數求值域；倘若對式子進行平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規解法顯得非常困難。考慮采用兩步換元，利用數形結合的思想把代數問題轉化為幾何問題來求解。

解：如圖5，設x=≥0，y=≥0，則m=x+y,由于x2+3y2=9，因此m是直線y=-x+m與橢圓x2+3y2=9在第一象限的部分（包括端點）有交點時在y軸上的截距，可得M的最小值為，直線與橢圓相切于第一象限時，m取最大值y=-x+mx2+3y2=9，消元得4x2-6mx+3m2-9=0，令△=0得m的最大值為2。所以m的值域是[，2]。

從以上幾題可以發現 ，數形之間的巧妙轉換是利用數形結合思想解題的關鍵之一。利用“數”與“形”的巧妙轉換，把代數式的精準刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，體現抽象思維和形象思維的有機統一。只有做到胸中有數，腦內有形，才能做到以數促形，以形助數，充分發揮圖形在解題中的作用，一定能找到別樣的精彩。

（韶關市中等職業技術學校）