初中數學應用題研究

付東華

中考的應用題已經不再是單純的數學知識與技能的應用，而是與現代社會的經濟發展緊密地聯系在一起，充分體現了數學知識在實際生活中的應用。它不僅能考核出學生掌握數學知識的水平，更能對學生的分析能力、計算能力、邏輯能力、開放思維能力，以及靈活運用數學知識去解決實際問題進行更深層次的檢驗。

一、方程與不等式的混合式組方面的應用題

例1：有一座車站，檢票的時候，有m（m＞0）個人排隊等著上車。假定：乘客依相同的速度增加，而檢票員的查檢速度相同。打開一個檢票口，排隊的人群要30分鐘檢票完畢；打開兩個檢票口，只要10分鐘。請問，如果發生特殊情況，必須在5分鐘內全部檢完，至少應該同時打開幾個檢票口？

解：假如檢票之后新出現的人為每分鐘x人，而檢票的速度為每一個檢票口每分鐘y人，那么，要想5分鐘之內檢完票，就要同時開n個檢票口。我們由題目的意思可知：m+30x=30ym+10x=2×10ym+5x≤5ny，∴y=,x=，∴ m+≤n×，∵m＞0 ，∴n≥3.5 ，∵n為最小正整數， ∴n=4。即：至少要同時開放4個檢票口。

這類方程與不等式的混合，充分體現了解方程的“消元”思想，考查了學生運用這方面知識的靈活程度。

二、函數中的應用題

這幾年這類習題成為了中考的熱點，各省市的試卷中出現了許多設計巧妙、反映時代氣息的一種信息閱讀理解方面的應用題，其中轉化的數學思想成了這一類試題的靈魂 ，把具體問題抽象成函數模型，來實現解題。

例2：某單位投資500萬元，想生產一個產品。然后，投資1 500萬元大批量生產。假設每一個產品成本限定為40元。這時，相關人員調查得知：當價格為100元時，每年能賣20萬件；價格每多10元，每年銷量將減少1萬件。假定售價為x（元），每年銷量為y（萬）件，年贏利為z（萬元）。（1）試寫出y與x之間函數關系式。（2）試寫出z與x之間的函數關系式。（3）計算價格為160元的年贏利，同時說說要達到同樣的年贏利，價格還可以設為多少？相應的年銷量分別為多少？（4）設想，在第一年，按年贏利最大設定的價格銷售；第二年，年贏利若不少于1 130萬元，憑函數圖像的大致說明，第二年的價格x（元），可限制在一個什么數值內？

解：（1）由題意得，當銷售價為x 元時，年銷售量減少（x-100）萬件，∴y=20-（x-100）=-x+30，即y與x之間的函數關系式為y=-x+30。

（2）由題意知：z=(30-x)(x-40)-500-1 500=-x2+34x-3 200，即z與x之間函數關系式為z=-x2+34x-3 200。

（3）∵x=160時，z=-×1602+34×160-3200=-320,∵-320=-x2+34x-3 200， ∴x2-340x+28 800=0， ∴ x+16=340，∴x=180，即同樣的年獲利、銷售單價還可以定為180元。當x=160時，y=-×160+30=14；當x=180時，y=-×180+30=12，即：相應的年銷售量分別為14萬件和12萬件。

（4）∵z=-x2+34x-3 200=-(x-170)2-310， ∴當價格定為170元，贏利最大，同時，到第一年年底，若想收回所有投資，還差310萬元。第二年，價格定為x元/件，則年贏利為z=(30-x)(x-40)-310=-x2+34x-1500。當z=1 130時，1130=-x2

+34x-1 510，∴x1=120 ，x2=220。函數z=-x2+34x-1 510，大致圖像如圖（圖略）。∴120≤x≤220時，z≥1 130，∴第二年的銷售單價應確定不低于120元且不高于220元范圍內。

三、學科滲透方面的應用題

中考數學部分應用題還體現了其他學科的滲透，感受到數學的工具性、綜合性、歸納性，展示了數學的應用價值。近年來，長春考了成語在概率中的應用、漢字的軸對稱性，蘭州考了烴類化合物的規律探索，濟南考了琴弦的頻率與長度關系等。

例3：物理中的勻速直線運動規律在中考習題中的運用。

（青島中考）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運行，速度為1cm/s；點Q由A出發，沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連結PQ，若設運動的時間為t(s)(0＜t＜2)，解答下列問題。（1） 當t為何值時，PQ//BC？（2） 設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式？（3） 是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t值；若不存在，說明理由。

分析：（1）將P、Q兩點的運動速度及時間轉化成線段的長度，而當PQ//BC時△APQ～△ABC列出方程進而求出t值。（2）選擇合適的底和相對應的高，AQ已知，故選擇AQ邊上的高，過PH⊥AC，利用△APH～△ABC求PH，再求面積。（3）存在性問題一般都是假設原命題成立，再結合題設建立關于t的方程進而求解。

解：（1）由題意得AP=5-t、AQ=2t，當PQ∥BC時，△APQ～△ABC ，∴=，∴=， ∴= ∴t=，即t=秒時PQ∥BC。

（2）（解略）y與t間的函數關系式為y=-t2+3t（0＜t＜2秒） 。

（3） 不存在這一時刻t滿足條件，理由如下：若PQ把△ABC周長平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t） ，∴t=1，若PQ把△ABC面積平分，則有S△APQ=S△ABC ，即-t2+3t=3。 當t=1時，左=-+3=，右=3，∴左≠右，即當t=1時 ， -t2+3t=3不成立。綜上所述，不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分。

總之，中考中的應用題涉及范圍越來越廣，譬如統計方面、圖案設計方面、概率方面的應用題,對學生各方面能力的要求呈逐步上升趨勢，也是試卷失分較多的地方，值得我們關注。

（大慶市第六十一中學）