三招破解《解直角三角形》應用題

洪三球

摘 要：能否高效解決解直角三角形應用題，是關系中考能否取得優秀成績的重要一環.本文從構造三種數學模型這一角度入手，給考生們提供了幾種便捷地解決這類問題的方法.

關鍵詞：應用題 解直角三角形 數學模型

應用題在解直角三角形這一章中有著十分重要的地位，它使抽象的三角函數理論與實際生活緊密地聯系在一起，較好地體現了數學來源于生活又應用于生活的特性，很好地貫徹了新課程標準關于理論聯系實際的思想，是歷年中考的必考題型.能否準確高效解決這類問題直接決定學生能否取得好成績.

我在中考復習迎考中構造了三類數學模型，靈活運用這三類模型能夠使學生便捷、正確地解決這一類問題。

一、構造一個直角三角形模型

這一類問題一般比較簡單，關鍵在于構造出一個直角三角形，把相應的邊和角都歸納進這個三角形，然后用適當的邊角關系解決相應的問題.

例1（南通市中考題）：一輪船以每小時20海里的速度沿正東方向航行，上午8時，該船在A處測得某燈塔位于它的北偏東30°的B處（如圖1-1），上午9時行至C處，測得燈塔恰好在它的正北方向，此時它與燈塔的距離是 海里（結果保留根號）。

分析：因為燈塔在Ｃ的正北，可構造如圖所示的直角三角形ＡＢＣ，又ＡＣ＝２０，∠ＢＡＣ＝６０°，所以由正切函數可計算出ＢＣ.

解：在Ｒt△ＡＢＣ中，

∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＢＡＣ＝９０°－３０°＝６０°，

又∵ＡＣ＝２０×１＝２０，

∴tan60°=，BC=AC tan60°=20×=20.

例２（蘇州市中考題）：蘇州的虎丘塔塔身傾斜，卻歷經千年而不倒，被譽為“中國第一斜塔”（如圖１-２）.ＢＣ是過塔底中心Ｂ的鉛垂線，ＡＣ是塔頂Ａ偏離ＢＣ的距離，椐測量，ＡＣ約為２．３４m，傾角約為２°４８′，求虎丘塔塔身ＡＢ的長度.（精確到０．１m）

分析：因為ＢＣ是鉛垂線，所以與地面垂直，ＡＢ是斜線，要解決該問題，必須構造直角三角形，故過塔頂Ａ作ＢＣ垂線垂足為點Ｃ，放在Ｒt△ＡＣＢ中解決該問題．

解：在Ｒt△ＡＣＢ中，

∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠ABC=２°４８′，又ＡＣ＝2.34

∴ tan２°４８′＝，

即ＡＢ＝ＡＣ?cot２°４８′=2.34 cot２°４８′=47.8m.

二、構造兩個直角三角形模型

如圖2-1，已知ＡＢ⊥ＣＤ，∠ＡＣＢ＝α，∠ＡＤＢ＝β（或者其他的兩個角），ＣＤ＝d(或其他任一邊的長度)，求ＡＢ及其他邊的長度.

這類模型又分兩種情況分別解決不同的問題．

第一種情況：點Ｃ，Ｄ在邊ＡＢ的同側（如圖２-１），利用這兩個直角三角形的邊角，邊邊關系構造方程組解決諸如測量中的俯角，仰角，輪船在大海中航行中的方位角等問題．

例３（天津市中考題）：如圖２-２，一艘貨輪向正北方向航行，在點Ａ處測得燈塔Ｍ在北偏西３０°，貨輪以每小時２０海里的速度航行，一小時后到達Ｂ處，測得燈塔Ｍ在北偏西４５°，問該貨輪到達燈塔正東方向Ｄ處時，貨輪與燈塔Ｍ距離是多少？（精確到０.１海里，≈１.７３２）

分析：因為Ｄ在Ｍ正東方向，ＡＢ是正北方向，所以ＭＤ⊥ＡＤ，即構造了兩個直角三角形：Ｒt△ＡＤＭ和Ｒt△ＢＤＭ．在這兩個直角三角形中利用邊角關系構造方程組，即可解決問題．

解：不妨設ＭＤ＝x，ＤＢ＝y．

又∠ＭＡＤ＝３０°，

∠ＭＢＤ＝45°，AB＝２０×１＝２０，

在Ｒt△ＢＤＭ中，∵tan∠ＭＢＤ＝，

∴tan４５°＝①

在Ｒt△ＡＤＭ中，∵tan∠ＭＡＤ＝，

∴tan３０°＝②

解這個方程組得x=10(+1)≈２７.３，y=10(+1))≈２７.３.

所以該貨輪到達燈塔正東方向Ｄ處時，貨輪與燈塔Ｍ距離約為２７.３海里．

第二種情況：點Ｃ，Ｄ在邊ＡＢ的異側（如圖3-１），利用這兩個直角三角形的邊角、邊邊關系構造方程組也能解決一系列問題.

例4（中考預測題）：如圖3-2，平地上有一建筑物AB和鐵塔CD相距60m，已知在建筑物頂部測得鐵塔底部的俯角為30°，又測得塔頂的仰角為45°，求鐵塔的高（精確到0.01米）.

分析：本題需構造直角三角形，可從點A引CD的垂線，垂足是點E，得到兩個Ｒt三角形，在這兩個三角形中利用邊角關系構造方程組，即可解決問題.

解：作AE⊥CD，交CD于點E，不妨設CE=x，DE=y.又∠DAE=30°，∠CAE=45°.

在Rt△ADE中，∵tan∠DAE=

∴tan30°＝ ①

在Ｒt△ＡEC中，∵tan∠CAE＝

∴tan45°＝②

解這個方程組得x=60

y=20

∴DE=60+20≈94.64

答：鐵塔的高度為94.64m.

例5（常州市中考題）：如圖3-3，甲、乙兩只捕撈船同時從A港出海捕魚，甲船以每小時15千米的速度沿西偏北30°方向前進，乙船以每小時15千米的速度沿東北方向前進。甲船航行2小時到達C處，此時甲船發現漁具丟在乙船上，于是甲船快速（勻速）沿北偏東75°的方向追趕，結果兩船在B處相遇。

（1）甲船從C處追趕上乙船用了多少時間？

（2）甲船追趕乙船的速度是每小時多少千米？

分析：因為乙船速度始終沒有改變，本題應從乙船入手，若能求出AB的長度，則可求出乙船所用的時間，從而可求出甲船追趕上乙船用了多少時間.構造直角三角形，可過點A引CB的垂線，垂足是點E，得到兩個直角三角形，利用邊角關系可求出AB的長度.

解：過點A引CB的垂線，垂足是點E，又∠ACE=45°，∠EAB=60°.

在Rt△ACE中，∵sin∠ACE=，即sin45°＝

∴AE=AC.sin45°=?30?=30

又∵CE=AE

∴CE=AE=30

在Ｒt△ＡEB中，∵cos∠BAE＝

∴AB＝==60

又∵tan∠EAB=

∴EB=AE?tan∠EAB=30?tan60°=30

∴CB=CE+EB=30+30

從而，乙船所用時間：==4小時

甲船從C處追趕上乙船用時間是：4-2=2小時

甲船追趕乙船的速度是：CB=（30+30）=（15+15）千米/小時

三、作梯形的高，構造直角三角形模型

如圖4-1，在梯形ABCD中過點A，D分別作梯形的高AE，DF可構造出兩個三角形，利用坡度與正切函數的關系解決相應問題.

例6（中考預測題）：如圖4-2，梯形ABCD是一堤壩的橫截面示意圖，坡角∠C=60°，AB的坡度=，壩的上底寬AD=10m，斜坡CD長為8m，求其截面面積.

分析：要求梯形截面面積需要求出下底BC與梯形的高，所以過A，D作梯形的高AE，DF，構造兩個直角三角形：Rt△AEB和Rt△DFC.放在這兩個三角形中解決問題。

解：過點A，D作AE⊥BC，DF⊥BC垂足分別為點E，F，可得EF=AD=10.

在Rt△DFC中，∵sin∠DCF=

∴DF=DC?sin∠DCF=8?sin60°=4

又∵∠CDF=30°

∴FC=DC=4

在Rt△ABE中，∵i==，又AE=DF=4

∴BE=2AE=2?4=8

∴S梯形ABCD=?DF

=?4=（48+48）

所以，該堤壩的截面面積為（48+48）m.

顯然，在解答直角三角形應用題時，構造適當的數學模型能提高同學們分析問題、解決問題的能力，大大簡化運算，廣大教師在復習迎考中應注意到這一點.

參考文獻：

［１］郭奕津.新教材完全解讀.吉林人民出版社，2005.11.

［２］薛金星.中學教材全解.陜西人民教育出版社，2005.12.

［３］占春生.教材動態全解.東北師大出版社，2009.11.

［４］新課標初中拓展強化導學練.江蘇人民出版社，2009.12.

［５］中學數學教學參考.陜西師大出版社，2010.9.