一元二次不等式的解題方法探析

呂瑜芳

摘 要：一元二次不等式解題方法有很多，選用好的方法，可使解題快速、準確，收到事半功倍的效果.本文通過實例分析探討了一元二次不等式的四類解法.

關鍵詞：一元二次不等式 因式分解 數形結合

一元二次不等式及其解法不僅僅是對一類不等式進行求解，更是對模塊一中有關函數內容的一種延續和上升，還是解決其他數學問題的一種重要工具.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的解法的延續和深化，對已學習過的集合、函數知識的鞏固和運用具有重要的作用，也與數列、三角函數、線性規劃、直線與圓錐曲線，以及導數等內容密切相關.許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整個高中數學教學中具有很強的基礎性，體現出很大的工具作用.本文對解一元二次不等式的方法作探討，以拋磚引玉.

一、因式分解法

這種解法的優點是思路簡單，容易理解，同學也易于接受，因式分解法求解一元二次不等式的主要解題步驟如下：

（1）先將一元二次不等式進行標準化為：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＞0）；

（2）如果ax+bx+c＞0在實數范圍內能被因式分解，就可把它分解成為：a（x-x）（x-x）＞0（＜0）（其中a＞0），從而得到ax+bx+c＞0（＜0）的等價的不等式組，由不等式組的解而得到不等式的解；

（3）如果ax+bx+c＞0在實數圍內不能被因式分解，則ax+bx+c＞0（＜0）的解只有兩種可能：一是一切實數，二是空集.

注：分式不等式＞0?圳f（x）＞0g（x）＞0或f（x）＜0g（x）＜0；

分式不等式≥0?圳f（x）≥0g（x）≥0或f（x）≤0g（x）≤0.

二、數形結合法

數形結合思想，可以直觀明了問題，降低難度，易掌握少出錯，數形結合法求解一元二次不等式的主要解題步驟如下：

（1）觀察二次系數的符號；

（2）弄清楚方程ax+bx+c=0的根的判別式△與0的大小關系，判定實根的個數；

（3）若方程y=ax+bx+c有兩個不相等的實數根x和x，比較兩者的大小；

（4）依據二次函數的圖像寫出解集（表1）.

表1 一元二次不等式圖像與解集對照表

注：對于二次項系數是負數（即a＜0）的不等式，可以先把二次項系數化成正數，再進行運算.

三、區間符號分析法

區間符號分析法求解一元二次不等式的主要解題步驟如下：

（1）先將一元二次不等式進行標準化為：ax+bx+c＞0（＜0），（其中a＜0）；

（2）如果一元二次方程ax+bx+c=0有兩個解，求出一元二次方程的兩個解x，x，這樣x，x兩個數把實數軸分成三段：（-∞，x），（x，x），（x，+∞）；

（3）在區間（x，x）中隨便找一個數β，計算aβ+bβ+c的值，由aβ+bβ+c的值的符號而選擇符合的區間.

四、方程法

對基礎較差的學生來說方程法是一種簡單有效的好方法.應用方程法求解一元二次不等式的主要步驟如下.

（1）方程ax+bx+c=0的根的判別式△與0的大小關系；

（2）當△≥0，a與所求解的是同號時，則結果是用“或”；反之，a與所求解的是異號時，則結果是夾中間；

3）當△≥0時，a與所求解的是同號時，則結果是R（全體實數）；反之，a與所求解的是異號時，則結果是?覫（空集）.

下面我們分別利用四種方法求一元二次不等式2x+3x-2≤0的解集.

方法一（因式分解法）：

原不等式等價的不等式組為2x-1≤0x+2≥0或2x-1≥0x+2≤0，由此可得：x≤x≥-2或x≥x≤-2，所以原不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

方法二（數形結合法）：

求得2x+3x-2=0的兩個根分別為和-2，而a=2＞0，所以圖像的開口朝上（如圖1），即不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

方法三（區間符號分析法）：

求得2x+3x-2=0的兩個根分別為和-2，這兩個根把實數軸分成三段：（-∞，-2），（-2，），（，+∞）.

（圖2）

在區間（-2，）中隨便找一個數0，即2×0+3×0-2=-2＜0，得不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

方法四（方程法）：

求得2x+3x-2=0的兩個根分別為和-2，因為a=2＞0而求的是“△”異號，所以原不等式的解集為{x|-2≤x≤}.

由上可知，在不等式的教學或復習中要有意識地注意方法的選擇，在解決不等式類的習題中要確定好觀察角度，對代數表達式的幾何意義要具有主觀感知，靈活地有潛意識地恰當運用方法，這樣不僅了解并體會了數學思想方法的奧妙，而且提高了解題速度，同時優化了解題過程.

參考文獻：

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