讓數學課堂在變中出彩

曹雪平

摘 要：中考數學綜合復習的目的是在短時間內幫助學生熟練掌握所學知識，為進一步地學習打好基礎。“變式訓練”是實現這一目標的方法之一。作者從概念、結構、題目、方法、思維五個方面進行變式訓練，從邏輯推理上演繹出一類問題的解法，通過對一類問題的研究，迅速將相關知識系統化、結構化，培養學生運用數學思想方法分析問題、解決問題、探究創新及靈活多變的思維能力。

關鍵詞：中考數學復習 變式訓練 選題

中考數學復習是初中學生進行系統學習的最后階段，總復習的效果直接影響著學生對數學知識的掌握程度。調動學生復習的主動性和積極性，是提高復習效率的關鍵。由于總復習是知識的再現過程，學生容易產生厭倦心理，如何上好復習課，使學生易于接受，樂于接受？老師要吃透《數學課程標準》，掌握課程考試綱要，熟練駕馭教材，注重變式訓練，讓數學課堂在變中出彩。

數學學習貫穿兩條主線，即數學知識和數學思想方法。“變式訓練”蘊含著豐富的數學思想和方法，更貼近學生的思想認識水平，符合常人的思維習慣，同樣也有利于培養學生的數學能力。復習時要讓學生熟練掌握通用方法和規律，并能夠靈活應用，而對那些適用面窄、局限性大的特殊技巧應予以淡化，以免削弱復習和訓練的效率。在初中數學中，常用的數學思想有函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸轉化思想、整體思想等，應在解決問題的過程中加以揭示、運用和提煉，并在專題復習階段進一步系統化。對于常用于數學解題的配方法、換元法、待定系數法等通法，盡管各自有其不同的特點和應用范圍，但它們都是解決數學問題的強有力的工具，應在基礎知識復習階段進行滲透、解釋和運用，并在專題復習階段進行系統化的訓練，要注意積累一些常規的解題方法，形成常規的解題意識和能力。下面是我在初三數學復習教學中的做法，供大家參討。

一、通過正例變式突出概念的本質屬性

一般意義上的教學變式主要包括兩類：一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為正例變式，可以根據其在教學中的作用分為概念的標準變式和非標準變式；另一類是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對象有某些共同的非本質屬性的變式，其中包括用于揭示概念對立面的反例變式。

和一般科學概念一樣，數學概念是一種外延性概念，也就是說，每個概念都有一個明晰的邊界，掌握概念意味著能夠通過內涵去確定一個具體的對象是否在這個邊界內。因此，教學的一種有效途徑就是將概念的外延作為變異空間，將其所包含的對象作為變式，通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質屬性。

在概念的對象集合中，盡管從邏輯的角度看，每個對象都是等價的，但實際上，這些對象在學生的概念理解系統中的地位并不相同。特別的，其中一些對象由于擁有“標準的”形式，或者受到感性經驗的影響，或者在引入概念時的“先入為主”等原因，而成為所謂的標準變式。

在這兩種正例變式中，標準變式雖然有利于學生對概念的準確把握，但也容易限制學生的思維，從而人為地縮小概念的外延。解決這個問題的方法之一就是充分利用非標準變式，通過變換概念的非本質屬性，突出其本質屬性。

二、通過反例變式明確概念的外延

概念的內涵與外延是對立而統一的，內涵明確則外延清晰。因此，概念的教學除了在內涵上下工夫外，還應該使學生對概念所包含的對象集合有一個清晰的邊界。

這類反例變式一般有兩個來源：一是來自概念之間的邏輯關系；二是基于學生常見的錯誤。教師運用反例變式進行概念教學，一方面可以幫助學生建立相關概念之間的聯系，另一方面也可以預防或者澄清學生在概念理解時可能出現的混淆，從而確切地把握概念變式的本質特征。

反例變式的另一種形式是讓學生舉出不合某屬性的例子。例如，命題“各邊都相等的多邊形是正多邊形”是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉一反例。在去掉本質屬性“各角相等”后，學生需要對各邊都相等的多邊形進行多次的檢驗、選擇、批判，從而明白哪些是本質特征，哪些是非本質特征，再舉出反例。在這一思考過程中，學生思維的批判性和創造性都會得到很好的培養。

總之，在數學概念的形成過程中，正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“純潔”概念，從而盡可能避免非本質屬性泛化的錯誤，使數學概念的概括精確化，提高概念教學的有效性。

可見，數學教師運用變式來進行概念教學的基本特征是：通過各種概念之間，以及正例變式與反例變式之間的差異與聯系來把握概念的內涵與外延，實現對概念的多角度的理解，從而引導學生對概念進行靈活變換，使學生觸類旁通、舉一反三，進而“減負增效”，提高數學概念課堂的有效性。

三、變通知識結構，整理知識脈絡

數學教材是按循序漸進、螺旋式上升的原則進行編排的，復習時若再按章節一一回顧知識要點，學生就會覺得枯燥乏味，心生厭煩，也不利于知識系統的形成。心理學研究表明新鮮事物容易使人產生興趣，激發好奇心、求知欲。總復習階段學生已經失去了上新課時的那種熱情和新鮮感，因此，教師要調整知識結構，讓知識以另一副面孔呈現。

根據學生的認知規律，教材在內容編排上往往把某些知識分散介紹。在總復習時，應將這些知識運用通性通法進行系統整理，給學生以整體全面的知識結構體系。例如，方程、不等式與函數是初中代數的重要內容，看似相互獨立的三塊知識結構，實際上是緊密聯系、相輔相成的教學內容。在復習一次函數時，可利用圖像闡明它和一元一次方程、一元一次不等式及其解之間的聯系。而復習二次函數時，可利用圖像闡明它和一元二次方程、一元二次不等式的聯系。這樣的知識整理可讓學生對函數、方程、不等式有更全面的理解，在對舊知識進行梳理時，要進行多角度的審視，而不是機械地重復，讓學生在耳目一新的同時，體會數學的緊密性、邏輯性和嚴謹性。

四、改編題目條件，實現知識遷移

題目變化包括條件的探究，即增加、減少或改變條件；結論的探究，即結論是否唯一；引申探究，即命題是否推廣；數與形的探究，等等。利用此類變式方法，可以使學生掌握一類題的解法，即解題通法。其實解題不僅可以查漏補缺，檢查知識的掌握情況，而且能夠通過解題提煉出解題方法，解題技巧，培養學生運用數學思想方法分析問題、解決問題、探究創新、靈活多變的思維能力。

例如：如圖1，正方形ABCD中，E、F在邊BC、CD上，且滿足∠EAF=45°，探索線段BE、EF、FD之間的數量關系并說明理由.

點撥：說明三條線段的數量關系，在圖形準確的情況下，我們可通過初步測量其長度，尋找其關系。在得出三者的和差關系后，說理時，可采用“截長補短”的方法。例如：可延長CB到G使BG=DF，通過證明△AGB≌△AFD和△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

變式1.靜動轉換

把一無限大等腰直角三角板的銳角頂點放在A頂點處，三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD或其延長線相交于E、F點，當三角板繞點A旋轉時，上例的結論還成立嗎？

當三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD相交于E、F點時，結論BE+FD=EF成立；當三角板的兩邊分別與正方形的邊BC和CD延長線相交于E、F點時，結論不成立，變為|BE-FD|=EF.

變式2.條件與結論轉換

把例中BE、EF、FD關系與∠EAF=45°互換，命題還是真命題嗎？

變式3.弱化題設

如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別在BC、CD上，且滿足∠EAF=∠BAD.

探究原結論是否成立.

點撥：題中∠EAF=∠BAD，可轉化為∠EAF=∠BAE+∠FAD，仍采用例1的解法，即延長EB到G使BG=DF，由∠B+∠D=180°，∠ABE+∠ABG=180°，得出∠D=∠ABG，再通過證明△AGB≌△AFD得出∠BAG=∠DAF，進而得出∠FAE=∠EAG，再通過證明△AGE≌△AFE，得出BE+FD=EF.

事實上，許多課本習題是編寫者精心篩選、匠心獨運命制而成的，具有豐富的內涵，平時解題時應引導學生進行解題反思。既要反思題目的條件與結論之間因果關系能否交換，又要注意命題條件能否等價的更換，結論能否拓展、引申與推廣，圖形的結構能否發生變化，怎樣變化？從而培養學生的數學思維方法的變通。總結的過程需要運用許多相關知識，因此，有的學生不愿意在這方面下工夫，而忽略了它，但真正做起來就會覺得其妙無窮，因為總結解決的不只是解一道題，更為重要的是學生在這一過程中會參與創造性思維活動，這一點絕非單純地解多少道題目所能比及的，如果教師能引導學生認真做好解題后的反思總結，橫穿縱拓地探索，必能激起學生探求數學奧秘的動機，對數學學習產生濃厚興趣。久而久之，就可以讓學生學到總結歸納的方法，收到“做一題，通一類，會一片”，舉一反三、觸類旁通的功效。

五、變換解題方法，感受數學思想

對于解題方法而言，當從某個角度難以入手時，可以換一個角度。對各種思路、方法分析比較，是形成創新意識、創新能力的源泉。通過有意識地精選可用多種思路來完成的典型題，利用方法變通，可幫助學生找到解題的“切入點”，領會數形結合、分類討論、函數與方程、化歸與轉化等數學思想，掌握換元法、配方法、待定系數法等常用數學方法。

例如：關于x的一元二次方程x-2x+a=0有解的條件是.

分析：這題是直接考查一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有解，滿足2-4a≥0，即a≤1.

變式：（1）關于x的一元二次方程ax-2x+1=0有解的條件是；

（2）關于x的方程ax-2x+1=0有解的條件是；

（3）二次函數y=ax-2x+1與x軸有交點的條件是；

（4）函數y=ax-2x+1與x軸有交點的條件是.

我預先把題抄到小黑板上，讓每個同學都積極思考，在分組討論，比較四小題關系，讓他們都能體驗自己的成功，課堂因不同的方法而變得精彩。

六、變換思維方式，培養創新能力

“數學是訓練思維的體操”。思維變通往往指的是以上幾種變通的綜合，尤其是題目變式和方法變化。在中考數學復習教學過程中，利用此類變式問題可以培養學生思維的靈活性、深刻性和發散性，從而更好地挖掘學生的潛能，提高學生的綜合素質。

例如：如圖3，在小河l的同側有牛欄A和草地B，牛每天要先到河邊飲水，然后到草地吃草。請問牧童如何才能使牛走的路程之和最短？

這是一道典型的幾何作圖試題，它涉及軸對稱、兩點之間線段最短、尺規作圖等數學知識，若將這道題稍加變式，則能激起學生更大的思維浪花。

變式1：一束光線從x軸上點A（1，0）出發，經過y軸上點P反射后經過點B（4，6），則點P坐標.

變式2：在上題中，試在y軸上找一點P，使PB-PA的值最大，則點P坐標.

變式3：在y軸上試在y軸上找一點C，使CB+CA的值最小，則點C坐標.

思路分析：若P、A、B不在一直線上，則PB-PA＜AB；若P、A、B在一直線上，則PB-PA=AB，所以PB-PA≤AB，其最大值為AB，求出直線AB與y軸的交點即P點.變式3可用類似的方法求得C坐標。在展示這道變式題時學生的興致很高，尤其是基礎比較扎實、成績比較優秀的學生，收效甚好。

在變式探究過程中，學生的思維逐步深入，并影響著課堂的氣氛，課堂常常因奧妙精彩的變化而達到高潮。教學的關鍵不是記住結論，而是經歷探究的過程，感受數學的研究方法，促進數學能力的提高，只有在運用通性通法進行不斷變式演練的過程中，才能提高解題能力。教師通過變式教學，有意識、有目的地引導學生從“不變”的本質中探究“變”的規律，可使學生思維在所學知識中游刃有余，順暢飛翔。

在總復習中，教師不能將新題型的復習游離于通性通法之外，應重視選題和變式訓練，通過變式訓練幫助學生多角度理解知識，掌握數學知識中蘊含的數學思想和方法，從而達到靈活運用的目的。挖掘每個數學問題的“營養價值”，達到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會貫通”的效果，是數學教師錘煉自身內功的一個追求目標，例題、習題要體現通性通法，既包含數學思想方法，又適量“難、新、活、寬”，做到難而不怪、新而不奇、活而不亂、寬而不偏，從而使數學課堂在“變”中出彩。