大學物理實驗中不確定度的應用

穆松梅

摘 要：本文總結了在大學物理實驗中規范使用不確定度的方法、原則。

關鍵詞：大學物理實驗 不確定度 置信因子 表示方法

在大學物理實驗中，有一個非常重要的環節，就是數據處理過程中要對實驗結果的不確定度做出分析，這既是準確表達實驗結果的必要條件，又是分析誤差來源的主要渠道。但由于不確定度的使用引入時間短，不確定度的相關概念及在不同情況下的應用公式非常繁雜，使用者對不確定度的認識并不完全一致，這一概念的認識和應用還存在一些問題，有待進一步研究、探討并逐步規范。

1.不確定度的定義

在DF1001-1998《通用計量術語及定義》中，對不確定度所做的定義為：表征合理地賦予被測量量之值的分散性，與測量結果相聯系的參數。通俗講，它的含義是指由于測量誤差的存在，對被測量量值的不能肯定的程度，反過來，也表明該結果的可信賴程度。測量結果的不確定度是獨立而又密切與測量結果相聯系的，是表明測量結果分散性的一個參數。在報告物理量的測量結果時，必須給出相應的不確定度，一方面便于使用它的人評定其可靠性，另一方面也增強了測量結果之間的可比性。

2.不確定度的表示方法

在實驗過程中，影響測量結果的因素很多，不確定度是綜合分析了各因素對實驗影響程度的基礎上的合成結果。將這些因素主要分為兩類，即A類不確定度（不確定度的A類評定）U和B類不確定度（不確定度的B類評定）U。該劃分僅在于說明計算測量不確定度的兩種不同途徑，并非在本質上有何區別，它們都是基于概率分布，都是用分差和標準差來定量描述，但在評定方法上存在一定區別。實驗結果的不確定度U是A類不確定度U和B類不確定度U共同合成的結果。表示為

U=（1）

2.1 A類不確定度

用對觀測列進行統計分析的方法來評定的不確定度的方式稱為A類不確定度，也稱為不確定度的A類評定。由于偶然效應，被測量值是分散的，以測量列的標準偏差作為不確定度A類分量的評定。對同一被測量量X在相同條件下的n次測量值X，X，…，X，當用單次測量值作為實驗的結果時，其單次實驗值的標準偏差為

S=（2）

如果以n次測量的平均值作為測量結果，則其算術平均值的標準偏差為

S==（3）

當測量結果是由與該分量對應的影響測量的單次數據得到時，在測量不確定度概率中用樣本的標準偏差S作為標準不確定度的值。即

U=S（4）

當測量結果是由與該分量對應的影響量的n次測量平均值得到時，在測量不確定度概算中用平均值的標準偏差S作為標準不確定度的值。即

U=S=（5）

作為不確定度的A類評定，其重復測量的次數應該足夠多，但有些實驗由于條件限制，只能做較少次數的測量，例如樣本的理化參數會隨著實驗次數的增加而變化時，就不宜多次測量。測量次數少時，由上式算出的標準偏差可能會被嚴重低估，這時應采用基于t分布確定的包含因子來表示A類不確定度，也稱擴展不確定度。即

U=t（6）

式中t為與一定置信概率相聯系的置信因子，按照自由度v=n-1查置信概率為p的t分布表得出t，如表1。

應該指出，加入置信因子的原因是由于測量次數太少而使得計算得到的實驗標準偏差變得不可靠，而不是測量次數太少而使實驗標準偏差變小，因此采用置信因子的方法得到的擴展不確定度往往稍大。所以一般在不確定度的A類評定中，重復實驗次數n≥10時，可以不考慮置信因子。

2.2 B類不確定度

B類不確定度指用任何非統計的方法對不確定度的評定。獲得B類不確定度的來源一般包括：已有的觀測數據，實驗中有關技術資料和對測量儀器的特性了解和經驗，生產部門提供的一些技術參數，準確度等級等。由此采用先驗的概率分布，根據其變化的全部信息視具體情況而對被測量量值的不確定度進行合理判斷和估算。

在大學物理實驗中，常以儀器的系統誤差作為考慮B類不確定度的主要因素，B類不確定度決定于儀器的誤差極限及其分布類型。如果儀器的誤差極限為△，并且其為有界分布，那么B類不確定度就可以表示為

U=（7）

其中K是儀器誤差概率分布的置信系數。雖然存在各種分布類型，但在大學物理實驗中比較常見的有三種分布，即正態分布、矩形分布（均勻分布）、U形分布。其置信系數分別為3、、，置信概率為P=0.95。如果實驗中無法判讀分布類型，一般采用矩形分布，即取K=。例如，用電流表對電流I進行單次測量，其B類標準不確定度可表示為U==，式中a為電表級別。

2.3合成不確定度

當待測量是直接測量量時，合成不確定度為

U=（8）

當待測量Y=f（X、X…X）為間接測量量，并且X間無相關，則合成不確定度

U=（9）

其中U為各個直接測量量的合成標準不確定度。

當函數Y的形式以乘、除、乘方等為主時，相對合成標準不確定度為

U=（10）

3.測量結果的不確定度表示

實驗結果的完整表示應報告其不確定度。一般有合成標準不確定度和擴展不確定度兩種形式。目前我國和大多數國家的標準和技術規范都要求在測量結果中給出足夠可靠的置信區間，即要求給出測量的置信概率p≥0.95的擴展不確定度。其規范表達形式為

Y=±U（計量單位）（11）

t=2；置信概率P=0.95，式中U為擴展不確定度。

結果表示中不確定度的有效數字，取一位或兩位，而測量結果的位數由不確定度的位數決定，其末位與不確定度的末位保持一致。

需要說明的是，以上計算不確定度中沒有考慮自由度的影響，主要是限于大學物理低年級學生的接受能力，省略了相關的計算會對不確定度的結果有一定的影響，但對于這個級別的實驗，這種計算的精度已達到測量的要求。

參考文獻：

［1］劉智敏.不確定原理［M］.中國計量出版社，1993.

［2］李慎安.測量結果與不確定度表示［J］.中國計量，2002，12.

［3］宋文福，朱力.不確定度的估算與表示［J］.大學物理實驗，2004，3.