中考幾何綜合題對數學活動考查的命題研究與反思

摘要： 中考幾何綜合題常以幾何圖形為載體去考查幾何或函數，并以動態幾何或數學活動兩大類的題型出現.作者以參與命制的福建省莆田市近年來的中考質檢與中考試卷中的幾何綜合題為例，對數學活動過程的考查方式進行試題評析與命題反思，從而對初中數學教學有一定的啟示作用.

關鍵詞： 中考幾何綜合題數學活動評析反思教學啟示

中考數學試卷應繼續加強對問題形成過程的考查，這樣做有助于引導課標所倡導的教學方式，加強探索性問題考查有利于引導教學實踐中讓學生有更多的自主探究的機會，完善教學方式.在實施過程中命題者應該關注：怎樣設問才能較好地讓學生展現自己認識問題和選擇解題策略的過程、探究問題和說理的思維活動過程、提出問題與解決問題的過程，什么樣的試題形式比較適合于考查學生的數學活動過程，等等.

中考幾何綜合題常以幾何圖形為載體去考查幾何或函數，常見的是以動態幾何或數學活動兩大類的題型出現.數學活動過程的考查方式有：

1.數學活動過程中所表現出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關知識與方法的理解深度；

2.遷移活動過程中的知識水平、思想方法，間接考查學生的數學活動過程；

3.能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并尋求證明猜想的合理性；

4.能否使用恰當的數學語言有條理地表達自己的數學思考過程；

5.經歷數學研究活動過程，形成較強的合情推理意識，發展學生的創新能力.

現以我參與命制的福建省莆田市近年來的中考質檢與中考試卷中對數學活動考查的幾何綜合題為例進行試題評析與命題反思.

一、試題評析與命題反思

例1.（2008年莆田市中考25題）

閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點P在BC邊上，當∠APD=90°時，易證△ABP∽△PCD，從而得到BP·PC=AB·CD，解答下列問題：

（1）模型探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時，求證：BP·PC=AB·CD；

（2）拓展應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于點O，以O為原點，以BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點P為線段OC上一動點（不與端點O、C重合）.

①當∠APD=60°時，求點P的坐標；

②過點P作PE⊥PD，交y軸于點E，設OP=x，OE=y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

［試題評析］本題通過“閱讀理解—模型探究—拓展應用”三環節問題設置，實際上向學生展示了一個研究具有一般性問題的較完整的過程：先從這個一般性問題的“特殊”（圖1為直角情形）入手，到“一般”（圖2為非直角情形）；再從“一般”（問題（2）①）上升到新背景中的“特殊”（問題（2）②），使學生經歷了“特殊—一般—特殊”由淺入深、歸納與演繹交替變化的思維過程.試題在第一環節中提供了“易證△ABP∽△PCD”的啟示，學生在解完“易證”中的具有廣泛意義的思考或研究方法（即所謂“一般性方法”）后，就能類比解決后續的各個問題.考查學生利用類比方法進行自主探究學習的能力.本題的價值不僅在于環環相扣、層層推進的精彩設置，而且在于其本身突出地展示著“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性.能掌握并善于運用一般性方法，就顯示出較高的數學學習能力.（以上是2008年福建省中考數學評價組的評析）

［命題反思］信息遷移題主要考查數學的活動過程，無論是對于信息的收集和處理，還是對于活動對象、相關知識與方法的理解深度，能否進行觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，或者是否能運用恰當的數學語言表述自己的數學思考過程都是信息遷移題所關注的，因此該類試題的考核往往也與過程性的目標相一致，體現出一定的數學思考和解決問題能力方面的要求.試題突出模型的探究、抽象、概括與應用，體現了研究一個問題時比較全面的過程：第一，對問題情景分析的基礎上先形成猜想；第二，對猜想進行驗證（或證明成立，或予以否定）；第三，在經過證明肯定了猜想之后，再做進一步的推廣.因此，該類題的意義就不僅在于考查了相應的知識，而且在于考查了活動過程.學生需要掌握通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得的數學猜想正確與否的原理、策略與方法，以及結合演繹推理與合情推理發展推理能力，從而進一步加強了學生對數學活動過程中的方法與策略的認識及運用.這樣的考題嘗試了數學學習的過程性考查，它在很大程度上可以檢驗學生的學習過程和方式，形式又新穎，體現了新課改理念，有著較好的可推廣性和教育性.

相關試題：（2008年莆田市初三質檢第24題）

（1）探究：如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，請猜測并寫出線段BE、EF、FD之間的等量關系（不必證明）.

（2）變式：如圖2，E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，∠EAF＝∠BAD，則線段BE、EF、FD的等量關系又如何？請加以證明.

（3）應用：在條件（2）中，若∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，BC＝CD（如圖3），求此時△CEF的周長.

例2.（2009年莆田市質檢24題）

（1）如圖1，△ABC的周長為l，面積為s，其內切圓的圓心為O，半徑為r，求證：r=；

（2）如圖2，在△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（-3，0）、B（3，0）、C（0，4）.若△ABC的內心為D，求點D的坐標；

（3）若與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓叫旁心圓，圓心叫旁心.請求出（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐標.

［試題評析］三角形的內心為三角形角平分線的交點，由三角形其內切圓組成的圖形是初中幾何的基本圖形之一.學過三角形的內切圓后，幾乎每個學生都做過如下的題目:設△ABC的三邊分別為a，b，c，內切圓半徑為r，求證:s＝1/2（a+b+c）r.此題正是在上述圖形和結論的基礎上進行了拓展與延伸:首先第（1）小題的變換結論為；r=，考查了學生的基礎知識;接著第（2）小題將第（1）小題的基本圖形置于平面直角坐標系中，進行了恰當的拓展，考查學生知識遷移的能力和靈活應用知識的能力;最后第（3）小題又在第（2）小題的基礎上進一步延伸，知識的應用也由形內擴展到了形外，而解決問題的方法也呈現出多樣性和靈活性，較好地考查了學生的數學思維能力和綜合應用知識分析、解決問題的能力.整個試題的設計以三角形的內切圓為背景，由簡單到復雜，由單一到綜合，層次分明，梯度合理，拓展適度，延伸自然，符合學生的認知規律，具有較好的效度和區分度.（以上引自《中國數學教育》2009年第10期中考試題研究張衛東老師的評析）

［命題反思］本題要求學生應用新定義探索解決問題，需要學生閱讀題目給出的相對于學生來說是新知識的材料，并在理解的基礎上加以運用，以解決新問題.考查了學生自己閱讀材料獲取新知識，學習理解新知識和應用新知識的能力，考查層次豐富，不同水平的學生可以充分展示自己不同的探究深度，較好地考查了學生綜合運用數學知識、思想方法去探索規律、獲取新知的能力.試題在知識遷移的同時方法也可以遷移，而且是一題多解，從而讓學生經歷學習、探索、問題解決的整個過程.這里將考試過程與學習過程結合起來，體現了一種較好的理念.借助問題解決的過程實現對所直接考查知識和技能的再抽象到一般意義下該能力和思想方法的考查，考題顯現出新的問題模式策略，對于改進、提高中考的科學有效性、引導課堂教學改革具有積極的作用.

相關試題：（2010年莆田市質檢卷第24題）

某課題組在探究“泵站問題”時抽象出數學模型：

直線L同旁有兩個定點A、B，則在直線L上存在點P，使PA+PB的值最小.

解法：作點A關于直線L的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線L的交點即為P.

且PA+PB的最小值為A′B.

請利用上述模型解決下列問題：

（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是邊AC上的一動點，求PB+PE的最小值.

（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值.

（3）代數應用：求代數式+（0≤x≤4）的最小值.

已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F.

（1）特殊發現：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心.

（2）若點E、F始終在分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為點P.

①猜想驗證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷+是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

［試題評析］本題是一道集閱讀理解、實驗操作、猜想證明、應用探究于一體的綜合題型.試題以菱形中的一個等邊三角形旋轉作為載體，綜合考查了等邊三角形、菱形兩個基本圖形的性質，同時考查了等邊三角形的外心（中心）、三角形的中位線、相似、全等等初中數學幾何主干知識.其新意主要體現在讓學生在操作、實驗等嘗試性活動中表現出對基礎知識的理解水平，對圖形的分解與組合的能力，考查了學生的分析、觀察、猜測、驗證、計算與推理能力.本題的情境較為復雜，要求學生在眾多的可變元素中確定不變的元素，有利于全面考查探索過程（類比、歸納、猜想等合情推理等在整個思維過程中能得到充分的體現），從而較為有效地發揮了證明題在考查學生觀察、數學表達、猜想、證明等數學活動方面能力的功能，可謂操作與探究相融，猜想與創新同途.本題結論開放、方法開放、思路開放，因而能有效地反映高層次思維，融會了特殊與一般、轉化思想、數學建模思想、函數思想、數形結合思想，是一道綜合性較強的題目.（以上是2011年福建省中考數學評價組的評析）

［命題反思］將旋轉納入新課程，不只是因為知識本身重要，更重要的是改變了研究問題的視角和方法.通過圖形的旋轉來呈現問題，并對旋轉進行拓展和延伸，以達到揭示方法、考查能力的“研究性試題”已漸露鋒芒.將旋轉與相似巧妙地融為一體，體現了知識交匯處命題的指導思想.以旋轉為載體并融全等、相似、四邊形等初中主體知識為一體的動態幾何題，已成為近年中考幾何壓軸題的一種重要形式.坐標幾何問題融數、形于一體，具有代數形式和幾何形式的雙重身份，是考查學生數形結合能力和綜合能力的良好載體.對圖形運動過程中基本幾何要素之間關系的探究等，只有通過親身探究和實踐，才能感知與體驗.試題的設計不只是對基礎知識基本技能進行測試，而應放在分析和解決數學問題的背景中去評價，應體現情境性、探究性、開放性和實踐性的統一.同時試題的考核也與過程性的目標相一致，體現出一定的數學思考和解決問題能力方面的要求，因而能更好地培養學生的獨立思考能力和探索精神，培養學生的創造意識與創新能力.

相關試題：（2003年莆田市中考第26題）

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點.圖1，2，3是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況.

探究：

（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數量關系，并結合圖2加以證明.

（2）三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由.

（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB=1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數量關系？請直接寫出結論，不必證明.（圖4供操作、實驗用）結論為：

二、對初中數學教學的啟示

1.要重視基礎，回歸教材，突出數學基本概念和基本原理的教學，注意數學各部分知識之間的銜接與聯系，努力揭示數學概念、法則、結論的發展背景、過程和本質.復雜圖形是由基本圖形構成的，若真正了解了基本圖形，就能在具體的解題過程中，從復雜圖形中分解、發現、構造基本圖形.命題中對幾何基本圖形進行加工、改造時，常用的策略有：原題條件的弱化或強化、結論的延伸與拓展、條件與結論的互換；或對圖形進行平移、翻折、旋轉等操作，使之形成一系列的變式與拓展問題.同時也可變靜態情境為動態情境，由特殊位置到一般情形，改變試題的設問形式等.教師在教學中應注意挖掘其性質與功能，從而更好地提高學生的解題功能，拓寬學生的視野，培養學生獨立思考、數學閱讀、知識遷移、歸納總結的能力，強化學生的數學應用意識和探究意識.

2.關注數學知識的形成過程，培養學生的動手、實驗、操作、歸納能力.《數學課程標準》非常重視學習過程和動手操作能力，數學教學絕不能只是學習數學的結論，而應強調知識的發生和發展過程，學生絕不能“只知其然，而不知其所以然”.教學中，要創造一定的空間和時間，重視學生對自我學習過程的品味和反思，使學生理解并掌握數學解題的方法與過程，弄清數學知識的來龍去脈.

教學中，要培養學生動手操作能力，通過讓學生親身體驗數學結論的“來歷”，在操作過程中獲取“解決問題的經驗”，在學習過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能.

3.突出數學思想方法的教學，注重提高學生的數學思維能力，增強學生的自主探究意識，培養創新和實踐能力.數學不僅是一種重要的“工具”和“方法”，更是一種思維模式，其表現就是數學思想.數學思想是數學基礎知識在更高層次上的抽象與概括，它蘊含于數學知識之中，是數學知識的精髓.《數學課程標準》要求學生：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例.因此教學中應選擇具有代表性、典型性、研究性的問題給予仔細剖析、精講精練，反對追求繁、難、偏、怪的問題.在掌握通性通法的基礎上，進一步尋求其不同解題途徑和思維方法，善于打破已有的思維定勢，深化其蘊含的數學思想，優化、簡化解題方法，以培養學生思維的廣闊性.

4.要加強培養學生的閱讀理解、分析能力和數學應用的意識.在教學中，要經常引導學生從所熟悉的實際生活中和相關學科的實際問題出發，通過觀察分析，歸納抽象出數學概念和規律，讓學生不斷體驗數學與生活的聯系，在提高學習興趣的同時，培養應用意識與建模能力，突出學生閱讀分析能力訓練.當試題的敘述較長時，不少學生往往摸不著頭腦，抓不住關鍵，從而束手無策，究其原因就是閱讀分析能力低.解決的途徑是：讓學生自己讀題、審題、作圖、識圖、強化用數學思想和方法在解題中的指導性，強化變式，有意識有目的地選擇一些閱讀材料，利用所給信息解題等.在當今信息時代，收集和處理信息的能力，對每一個人都是至關重要的，也是中考命題的熱點.

中考壓軸題是經過命題者精心編制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，只有教師認真鉆研，學會拓展延伸、類比遷移，才能讓自己從一個單純的執行者轉變為開發者，她改變了“記題型，對模式”的僵化、死板的學習方式，從而能夠更好地培養學生的發散性思維能力和邏輯思維能力，培養學生的創新意識，教學也必將更加有效.

參考文獻：

［1］2011年全國中考數學考試評價報告［M］.華東師范大學出版社.

［2］張衛東.中考角平分線問題的新特點及啟示［J］.中國數學教育，2009，（10）：41-42.

［3］蔡德清.中考數學壓軸題的命題研究與反思［J］.福建中學數學，2010，（11）：11-14.