數形結合在解題中的運用

吳春林

摘要： 數形結合是高中數學新課程所滲透的重要思想方法之一。新教材中的內容能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學生的數形結合思想。教材中這一方法的滲透對發(fā)展學生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導性的作用，可對問題進行正確的分析、比較、合理聯想，逐步形成正確的解題觀，還可在學習中引導學生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數學認知能力，并提高對現實世界的認識能力，從而提高數學素養(yǎng)，不斷完善自己。

關鍵詞： 數形結合解題運用

數學是研究客觀世界的空間形式和數量關系的科學，數與形是數學的兩種表達形式，數是形的抽象概括，形又是數的直觀表現。數形結合并不是簡單地堆砌，而是有機地結合。華羅庚教授曾說：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”數形結合是把抽象的數學語言同直觀的圖形結合起來，通過“以形助數”、“以數解形”，使抽象思維和形象思維相結合，通過圖形的描述、代數的論證來研究和解決數學問題。而對于抽象思維還不夠成熟的高中學生來說，如果在解題中能夠很好地運用這一數學解題中重要方法，就能夠使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，進而簡化解題過程，從而達到事半功倍的效果。

一、利用數形結合解決集合問題

圖示法是集合的重要表示法之一，對一些比較抽象的集合問題，在解題時若借助韋恩圖或用數軸、圖像等數形結合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡捷、準確地獲解。

例1：若I為全集，M、N?哿I，且M∩N=N，則（）。

A.CM?勐CNB.M?哿CNC.CM?哿CND.M?勐CN

提示：由韋恩圖很容易知道答案為C。

二、方程與函數中的數形結合

函數的圖像是函數關系的一種表示，它是從“形”的方面來刻畫函數的變化規(guī)律。函數圖像形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。函數的圖像和解析式是函數關系的主要表現形式，實質是相同的，在解題時經常要相互轉化，在解決函數問題，尤其是較為繁瑣的（如分類討論、求參數的范圍等）問題時要充分發(fā)揮圖像的直觀作用，如：求解函數的值域時，可給一些代數式賦予一定的幾何意義，如直線的斜率，線段的長度（兩點間的距離）等，把代數中的最值問題轉化為幾何問題，實現數形轉換。

方程f（x）=g（x）的解的個數可以轉換為函數y=f（x）和y=g（x）的圖像的交點個數問題。不等式f（x）＞g（x）的解集可以轉化為函數y=f（x）的圖像位于函數y=g（x）的圖像上方的那部分點的橫坐標的集合。

例2：設函數f（x）=（），x≤0，x，x＞0，若f（x）＞1，則x的取值范圍是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，＋∞）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析:本題主要考查函數的基本知識，利用函數的單調性解不等式，以及借助數形結合思想解決問題的能力。

解：如圖1，在同一坐標系中，作出函數y=f（x）的圖像和直線y=1，它們相交于（-1，1）和（1，1）兩點。由f（x）＞1，得x＜-1或x＞1。答案：D。

例3：方程lgx=sinx解的個數為（ ）。

A.1B.2C.3D.4

分析：畫出函數y=lgx與y=sinx的圖像（如圖2）。注意兩個圖像的相對位置關系。答案：C。

三、利用數形結合解決數列問題

數列可看成以n為自變量的函數，等差數列可看成自然數n的“一次函數”，前n項和可看成自然數n的缺常數項的“二次函數”，等比數列可看成自然數n的“指數函數”，在解決數列問題時可借助相應的函數圖像來解決。

例4：若數列{a}為等差數列，a＝q，a＝p，求a。（如圖3）

分析：不妨設p＜q，由于在等差數列中，a關于n的圖像是一條直線上均勻排開的一群孤立的點，故三點（p，q），（q，p），（p＋q，m）共線，設a+q＝m，由已知，得三點（p，a），（q，a），（p＋q，a+q）共線。則k=k，即=，得m＝0，即a＝0。

四、不等式與解析幾何中的數形結合

在解析幾何中，借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐標系中圖像的特點，可從圖形上尋求解題思路，啟發(fā)思維，難題巧解。

例5：曲線y=（0≤x≤2）與直線y=k（x-2）+2有兩個交點時，實數k的取值范圍是（）。

A.（，1） B.（，+∞）

C.（，1］ D.［，+∞）

分析：曲線y=（0≤x≤2）的圖像是以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方（包括x軸）的部分。直線y=k（x-2）+2是過定點P（2，2）、斜率為k的直線。在同一直角坐標系中，分別作出它們的圖像，觀察圖4，符合要求的直線l介于直線l、l之間（包括l，不包括l），其中l(wèi)與半圓相切，l過原點。通過計算容易求得l的斜率為1，l的斜率為，所以＜k≤1。答案：C。

例6：如果實數x、y滿足等式（x-2）+y＝3，那么的最大值是（）。

A.B.C.D.

圖5分析：等式（x-2）+y=3有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r=為半徑的圓（如圖5）。而=則表示圓上的點（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率。如此一來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值。由圖5可見，當點A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最大值為tan60°=。答案：D。

應用數形結合解題時要注意以下兩點：其一，注意數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題應是等價的；其二，注意利用“數”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點個數問題，轉化成圖形后要保證“數”的精確性，才能得出正確結論。有些問題所對應的圖形不唯一，要根據不同的情況作出相應的圖形后，再進行討論求解。

總之，學生要真正掌握數形結合思想的精髓，必須有深厚的基礎知識和熟練的基本技巧，如果只理解了幾個典型習題，就認為領會了數形結合這一思想方法，是錯誤的。在平日的教學中，教師要緊緊抓住數形轉化的策略，溝通知識聯系，激發(fā)學生學習興趣，提高學生的思維能力。而且數形結合也不能只作為解題工具，只有充分揭示出數形結合的教育意義，深入挖掘其教育價值，數形結合在后續(xù)學習中才會有更旺盛的生命力，高中數學教學中數形結合提高解題能力的研究也才會有更深、更好的基礎。只有這樣，運用數形結合的能力才能不斷提高。