高效課堂中的數學建模與自主學習

唐軍捷

摘要： 數學建模教學法是數學方法論中研究數學的基本數學方法之一，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新精神和實踐能力，以及他們的想象力和洞察力。

關鍵詞： 數學建模自主學習實踐能力想象力

作為一線教師，我們如果不了解教育發展的動向，就會很快被淘汰。從《全日制義務教育數學課程標準》的理念來看，義務教育階段的數學課程，其基本目標是促進學生全面、持續、和諧地發展，因此，在學生獲得知識的同時，還應強調學生在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到發展。為此，我對數學模型法做了學習和探討。

數學模型法是數學方法論中研究數學的基本數學方法之一。數學方法論在20世紀已由龐加萊、阿達瑪、波利亞和徐利治等數學家研究和提倡，受到數學界和數學哲學界的重視。在新世紀，數學方法論是以數學研究方法為對象，探討各種數學方法的性質、特點和聯系，并從個性中找出共性、從個別中探求一般，從而得出關于數學研究方法的一般性原則。就數學來講，具體地說，是抽象的數學模型。因此，數學模型方法是連接實踐與認識、感性與理性、主體與客體的手段和橋梁。數學家通過數學模型法不斷從客觀事物系統中提煉出數學問題，或者說不斷從現實問題中提煉出數學問題，使數學保持強大的生命力。另一方面，通過應用已有的數學知識于數學模型，解決現實問題，證實自身的價值和真理性。由此可見，數學模型法在數學方法論中的重要性。［１］

通過近幾年的了解和考察，我發現，無論在中考試卷，還是在平時的復習資料中，關于數學模型之類的題目，都層出不窮，并且分值還在不斷增加。作為一線教師，我們應該對此加以重視，多搜集一些關于數學建模方面的資料，對此加以整理，建立一些切實可行的解題方案，并在平時的教學中加以應用，實踐證明，對學生的發展和提高有不可忽視的作用。

關于數學模型法的步驟，隨著人們對它不同的理解而出現不同的步驟。徐利治教授把數學模型法劃分為3個步驟：分析現實原型關系結構的本質屬性，確定數學模型的類別；確定所研究的系統的主要矛盾、選擇主要因素；用數學語言表述對象及其關系。［2］

姜啟源教授把建立數學模型法分為7個步驟：模型準備；模型假設；模型求解；模型分析；模型檢驗；模型應用。這里所說的7個步驟，其實是使用數學模型方法解決事實問題的過程或步驟。對于數學模型的建立來說，到第3步就已經完成了。所以就數學模型法而言，只要3個步驟：

（1）了解生產和科學的實踐中存在的現實問題及其背景，掌握對象的特征，以及各種有關信息，確定所要建立的數學模型的類型；

（2）根據研究對象的特性以及建立模型的目的，分析構成問題的因素，抓住主要因素，略去次要因素，作必要的簡化，并用精確的語言作一些必要的假設；

（3）根據假設和已知的信息、知識，以及存在于研究對象中的數量關系，用抽象的數學語言表述現實問題，得到所需要的數學模型。［3］

為此，我認真地鉆研數學模型法的理論知識了解該理論的內涵和外延，同時把它應用在教學中。

在實際生活中，許多問題與我們所學知識密切地聯系在一起，只要稍作改變就可以把問題迎刃而解，同時使學生感到知識就在生活中，知識就在我們身邊。

【題目】

有一拋物線形拱橋，橋頂O離水面AB高4米時，水面寬度AB為10米，如圖建立直角坐標系。（1）若水面上漲0.76米，此時水面CD寬度為多少米？（2）水面上漲后，有一竹排運送一只貨箱欲從橋下經過，已知貨箱寬4米，高2.5米（竹排與水面向平），問該貨箱能否順利通過此橋？

【解答】

（1）由題意可知，點A,B的坐標分別為（-5,-4），（5，-4）.設拋物線的解析式為y=ax,把x=-5,y=-4代入y=ax,得-4=25a,解得a=-,∴y=-x.

若水面上漲0.76米，由4-0.76=3.24，得到C,D的縱坐標為-3.24，把y=-3.24代入y=-x,得-3.24=-x,解得x=±4.5.∴點C,D的坐標分別為（-4.5，-3.24），（4.5，-3.24），于是CD=9米.

（2）如圖，令貨箱寬的中心點恰好位于水面的中心，可設貨箱外緣所對應拋物線上的點E的坐標為（2，m）,則m=-×4=-0.64即EF=3.24-0.64=2.6米＞2.5米，∴該貨箱能順利通過.［4］

在第（2）問的解法中，是從貨箱的長入手，從而得到高，再與貨箱的實際的高相比，最后得到答案。這種方法固然很好，但是我在實際教學中發現，有一部分學生是從高入手，具體過程整理如下：

解法2：如圖所示，令貨箱寬的中點也是恰好位于水面的中心由（1）知ON=3.24米.∵MN=2.5米，∴OM=3.24-2.5=0.74米，根據題意得：-0.74=-x，解得x≈±2.15058.∴PE=2.15058×2=4.30116＞4.∴該貨箱可以順利通過.

我認為把這兩種方法有機結合起來，能更好地開發學生的智力。多掌握一種方法，不就擴大了生存的空間嗎？當然在現實生活中，有很多類似的數學模型，我們要多注意身邊的現象，把它與學過的知識密切地聯系起來，做到學以致用。

綜上所述，數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新精神和實踐能力。［5］同時數學建模最主要的是培養學生的合作交流能力，因為數學建模活動常常是小組分工合作、密切配合、相互交流、集思廣益，這種相互合作的精神是社會生活中極為需要的。創造能力尤為重要，數學建模沒有現成的答案，也沒有固定的模式或通式，建模的過程有較大的靈活性，因此，數學建模就給學生提供了一個自我學習、獨立思考、認真探索的實踐過程，提供了一個發揮創造才能的條件和氛圍，通過建模，學生要從不同的問題中探出本質特性，這樣有助于培養學生的想象力和洞察力［6］。

參考文獻：

［1］林夏水.數學哲學［M］.商務印書館，2003.

［2］徐利治.數學方法論選講［M］.華中工業學院出版社，1983.

［3］姜啟源編.數學模型［M］.高等教育出版社，1987.

［4］王華炎.中學數學教學參考［J］.2007，（3）.

［5］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗稿）［S］.北京：北京師范大學出版社，2001.

［6］郭要紅編.數學教學論［M］.安徽人民出版社，2007.