《電動力學》課程中引入普通物理知識的探索

吳太權,焦志偉

摘要：《電動力學》是研究電磁現象的經典的動力學理論，它主要研究電磁場的基本屬性、運動規律以及電磁場和帶電物質的相互作用，對本科生來說這是一門相對較為難學的課程，其難點為數學知識：散度和旋度，重點為麥克斯韋方程組。在課堂教學中，通過引入一些相關的普通物理知識，采用通俗形象、層層鋪墊等方法進行教學，將其化難為易，讓學生們循序漸進地掌握《電動力學》的基本知識。實踐教學效果良好。

關鍵詞：《電動力學》；普通物理；麥克斯韋方程組；電磁波

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）01-0058-03

一般普通物理課程包括力學與熱學、光學、電磁學和原子物理。這些普通物理課程主要是以實驗為基礎的學科，物理中的規律、定律、原理等主要通過實驗獲得，對其物理本質的探索較少，往往是點到為止，因此需要進一步地學習理論物理知識。理論物理即物理學的四大力學，包括理論力學、電動力學、熱力學統計物理和量子力學。其中《電動力學》課程是在電磁學的基礎上，更深入地揭露了電磁場的本質，完整地詮釋了電磁波的產生和傳播。《電動力學》以數學作為主要研究工具，而本身包含的理論知識較為復雜、枯燥和抽象，因此需要借助普通物理的知識，讓學生們更容易接受和理解。有關《電動力學》課程的教學方法的探索已有很多。中國計量學院物理學系應用物理專業大一和大二上學期的經過一年半的學習，學生們對物理學的概念和物理圖像從整體上來說有了更加全面的認識。下面就以兩個例子來說明在《電動力學》課題教學中，引入電磁學和光學的知識，不僅可以更好地理解電磁現象的本質，還可以使抽象、枯燥的課程的學習變得生動有趣，簡單易學，從而增強學生學習《電動力學》的興趣。

一、麥克斯韋方程組

《電動力學》的理論基礎是麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式。同所有的認識過程一樣，人類對電磁運動形態的認識，也是由特殊到一般、由現象到本質逐步深入的。人們對電磁現象的認識范圍，是從靜電場、靜磁場等特殊方面逐步擴大，直到一般的運動變化的過程。從高中物理、普通物理到理論物理，這也是特殊到一般，然后繼續深入的過程。麥克斯韋方程組包括四個基本公式，即電場的散度和旋度，磁場的散度和旋度。電磁學中麥克斯韋方程組是用積分形式表示，而《電動力學》中由于引入了散度和旋度而用微分形式表示。下面我們分別利用電磁學的知識導出微分形式的麥克斯韋方程組。

1.電場的散度——電場高斯定理的微分形式。電磁學中由庫侖定律中推出了關于電場強度通量的高斯定理，即閉合曲面S內存在電荷Q，則通過該閉合曲面的電通量為■E■·dS■=■。如果電荷連續分布于空間中，則Q=■?籽dV，因此電場E對閉合曲面S的通量為■E■·dS■=■■?籽dV。根據積分變換式：■f■·dS■＝■?犖·f■dV，有■E■·dS■=■?犖·E■dV=■■?籽dV，所以獲得了高斯定理的微分形式：?犖·E■=■。這是電場的一個基本微分方程。上式指出，電荷是電場的源，電場線從正電荷發出而終止于負電荷。

2.磁場的散度——磁場高斯定理的微分形式。由電磁學的知識可知，由電流激發的磁感應線總是閉合曲線。因此磁感應強度B是無源場。表示B無源性的積分形式是B對任何閉合曲面的總磁通量為零，即■B■·dS■=0。同理利用積分變換式可得?犖·B■=0。在目前未證實磁荷存在的前提下，上式被作為磁場的一條基本規律。上式指出，磁場都是無源場。

3.電場的旋度——電磁感應定律的微分形式。電磁學中介紹了法拉第電磁感應定律，閉合線圈L中的感應電動勢與通過該線圈內部的磁通量變化率成正比。曲面S為閉合線圈L所圍的任一曲面，由實驗測定，當通過曲面S的磁通量增加時，線圈L上的感應電動勢ε與我們規定的L圍繞方向相反，因此用負號表示，電磁感應定律為：?著=-■■B■·dS■。又感應電動勢是電場強度沿閉合回路的線積分，則?著=■E■·dl■=-■■B■·dS■。若回路L是空間中的一條固定回路，則上式為■E■·dl■=-■■·dS■。利用積分變換式：■f■·dl■=■（?犖×f■）·dS■，由■E■·dl■=■（?犖×E■）·dS■=■（-■）·dS■，得?犖×E■=-■。這是磁場對電場作用的基本規律。相比于靜電場的無旋性，感應電場是有旋場。

4.磁場的旋度——位移電流的引入。奧斯特發現電場能激發磁場，法拉第發現變化磁場激發電場。那么變化的電場是否激發磁場？麥克斯韋方程組有關磁場旋度的公式最難理解，也最復雜。恒定電場激發磁場的規律可由安培環路定理■B■·dl■=?滋0I通過積分變換式獲得：?犖×B■=?滋0J■。非恒定電場的情況，該式與自然界精確的電荷守恒定律發生沖突，因此只能對上式進行修改使它服從普遍的電荷守恒的要求。為此麥克斯韋引入了位移電流。為了更好地理解位移電流，可引入一個由電源、電容、電鍵、電流表組成的簡單串聯電路，顯然這是一個非閉合回路。實驗可知閉合電鍵時，電流表的指針發生偏轉，這說明有電流通過這個非閉合回路。而電容器兩板之間是絕緣介質，自由電子是不可能通過，即電容器兩板之間沒有傳導電流J通過。這意味著兩板之間的電流是和傳導電流性質不同的其他電流，麥克斯韋把它稱作位移電流JD。由電荷守恒定律和高斯定理可得，該位移電流由變化的電場激發：J■D=?著0■。這說明變化的電場能激發磁場。加上恒定電場激發的磁場，磁場第二個基本規律可表示為：?犖×B■=?滋0J■+?滋0?著0■。位移電流假設的正確性由以后關于電磁波的廣泛實踐所證明。麥克斯韋方程組反映一般情況下電荷電流激發電磁場以及電磁場內部運動的規律。它最重要的特點是揭示了電磁場的內部作用和運動。通過對麥克斯韋方程組的推導演繹，使學生更深刻地理解電場和磁場的關系，了解電場和磁場是同一個物質的兩個方面，給出了電磁場的完整而清晰的圖像。

二、電磁波在介質表面的反射與折射

交變情況下，電磁場以波動形式存在。變化著的電場和磁場相互激發，形成在空間中傳播的電磁場。《電動力學》中介紹了電磁波的傳播和輻射，以及其在介質表面和金屬表面的反射和折射。電磁輻射可以按照頻率分類，從低頻率到高頻率，包括無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外光、X-射線和伽馬射線等。光學中介紹了可見光波在介質交界面的反射和折射定律。設介質1和2都是透明的、均勻和各向同性的，那么當一束光線由介質1入射到介質1和2的分界面上時，一般情況下它將分為兩束光線：反射線和入射線。實驗結果（令入射角、反射角和折射角分別為θ，θ'，θ"）表明：（1）反射角等于入射角θ'=θ。（2）折射角與入射角正弦之比與入射角度無關，是一個與介質有關的常數，可以用菲涅耳定律來表示，即■=n■，其中n21是介質2相對介質1的折射率。可見光波是電磁波的一種，因此電磁波在介質表面的反射和折射定律與光波在介質表面的結論一樣。（1）反射角等于入射角θ'=θ。（2）折射角與入射角正弦之比與入射角度無關，也是一個與介質（此時介電常數ε1、ε2和磁導率μ1、μ2已知）有關的常數，即■=■。由于除鐵磁質外，一般介質都有?滋=?滋0，因此通常可以認為■就是兩介質的相對折射率。頻率不同時，折射率亦不同，這是色散現象在折射問題中的表現。

根據電動力學中的電磁波在介質表面的反射和折射定律，使學生更深刻地了解了反射定律和折射定律的內在本質，同時也使抽象的電動力學知識得到了很好的學習。除了反射定律和折射定律以外，使用光波在介質交界面上的邊值關系,還可以得到入射波、反射波和折射波在界面上的振幅和相位關系，這樣光學中的全反射現象、半波損失現象和布魯斯特角等現象都可以得到更好的理論解釋，而且引入光學的這些現象也可以增加學生學習電動力學的興趣。

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作者簡介：吳太權（1977-），男，福建永安人，中國計量學院物理系副教授。