積分因子法的一個應(yīng)用

摘要：本文給出利用積分因子法求解一階線性微分方程及貝努利方程的一種簡便方法，在探究職業(yè)院校數(shù)學(xué)教學(xué)方法方面作了一次有益的嘗試。

關(guān)鍵詞：積分因子；一階線性微分方程；貝努利方程

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）01-0193-01

如果用常數(shù)變易法求解一階線性微分方程，過程比較繁瑣；如果用公式法求解一階線性微分方程又需要記憶該公式。對于可化為一階線性微分方程的貝努利方程，需要作一個變換之后化為一階線性微分方程，其求解過程更加繁瑣。我們在這里介紹一種利用積分因子求解一階線性微分方程的簡便方法。

一、基本理論

如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0不是全微分方程，而存在連續(xù)可微函數(shù)?滋（x，y）≠0使?滋P（x，y）dx+?滋Q（x，y）dy=0為全微分方程，則稱函數(shù)?滋（x，y）為此微分方程的一個積分因子。并且有如下結(jié)果：

定理[1][2]微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一個僅依賴于x的積分因子的充要條件是■是一個僅與x有關(guān)的函數(shù)?鬃（x），此時微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一個積分因子為?滋（x）=e■。

微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一個僅依賴于y的積分因子的充要條件是■是一個僅與y有關(guān)的函數(shù)φ（y），此時微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0有一個積分因子為?滋（y）=e■。

二、一階線性微分方程y'+p（x）y=q（x）的解法

先將方程y'+p（x）y=q（x）變形成[p（x）y-q（x）]dx+dy=0，于是P（x，y）=p（x）y-q（x），Q（x，y）=1，?滋=■=p（x）是一個僅與x有關(guān)的函數(shù)，所以方程[p（x）y-q（x）]dx+dy=0有一個積分因子?滋（x）=e■。

在方程[p（x）y-q（x）]dx+dy=0的兩邊同乘以?滋（x）=e■得到

p（x）ye■dx+e■dy=q（x）e■dx

即d（e■y）=q（x）e■dx

所以有e■y=■q（x）e■dx

從而得到一階線性微分方程y'+p（x）y=q（x）的通解為y=（■q（x）e■dx+c）e■。

三、貝努力方程y'+p（x）y=q（x）yn(n≠0,1)的解法

先將方程y'=p（x）y=q（x）yn變形為[y1-np（x）-q（x）]dx+y-ndy=0，則p（x，y）=y1-np（x）-q（x），Q（x）=y-n，■=■=（1-n）p（x）是一個僅與x有關(guān)的函數(shù)，所以方程[y1-np（x）-q（x）]dx+y-ndy=0有一個積分因子?滋（x）=e■。

在[y1-np（x）-q（x）]dx+y-ndy=0兩邊同乘以?滋（x）=e■得到e■y1-np（x）dx+y-ne■dy=q（x）e■dx，于是有d（y1-ne■）=q（x）e■dx，所以y1-ne■=■q（x）e■dx+c，于是得到貝努利方程y'=p（x）y=q（x）yn的通解為：

y=[（1-n）■e■q（x）dx+c]■e■。

參考文獻：

[1]張曉梅，張振宇，遲東璇.常微分方程[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2010：11-42.

[2]王素云，李千路.常微分方程[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008：10-45.

基金項目：東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院院級項目“高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)方法探究”資助

作者簡介：馮天祥，重慶萬州人，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。