2012年高考必做創新題——探究創新題

信息探究型

（★★★★）必做1 設M是由滿足下列性質的函數f（x）構成的集合：在定義域內存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立． 已知下列函數：

①f（x）=；

②f（x）=2x；

③f（x）=lg（x2+2）；

④f（x）=cosπx，其中屬于集合M的函數是_______（寫出所有滿足要求的函數的序號）．

精妙解法 ①中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1），則=+1，即x2+x+1=0．

因為Δ=1－4=－3<0，故方程無解．即f（x）=M．

②中，存在x=1，使f（x+1）=2x+1=f（x）+f（1）=2x+2成立，即f（x）=2x∈M．

③中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1），則lg［（x+1）2+2］=lg（x2+2）+lg3，即2x2-2x+3=0．

因為Δ=4－24=－20<0，故方程無解，即f（x）=lg（x2+2）M．

④存在x=，使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M．

故答案為：②④．

極速突擊 根據集合M的定義及函數的解析式， f（x0+1）=f（x0）+f（1）構造方程． 若方程有根，說明函數符合集合M的定義；若方程無根，說明函數不符號集合M的定義． 由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案． 本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷及其他方程的解法，掌握判斷元素與集合關系的方法，即元素是否滿足集合的性質是解答本題的關鍵．

（★★★）必做2 對于定義域為D的函數y=f（x），若有常數M，使得對任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D滿足等式=M，則稱M為函數y=f（x）的“均值”．

（1）判斷1是否為函數f（x）=2x+1（－1≤x≤1）的“均值”，請說明理由；

（2）若函數f（x）=ax2－2x（1

（3）若函數f（x）是單調函數，且其值域為區間I，試探究函數f（x）的“均值”情況（是否存在、個數、大小等）與區間I之間的關系，寫出你的結論（不必證明）．

精妙解法 （1）對任意的x1∈［－1，1］，有－x1∈［－1，1］，當且僅當x2=－x1時，有=x1+x2+1=1，故存在唯一x2∈［－1，1］，滿足=1，所以1是函數f（x）=2x+1（－1≤x≤1）的“均值”．

（2）當a=0時，f（x）=－2x（1

當a≠0時，由f（x）=ax2－2x（1

（3）①當I =（a，b）或［a，b］時，函數f（x）存在唯一的“均值”，這時函數f（x）的“均值”為；

②當I為（－∞，+∞）時，函數f（x）存在無數多個“均值”，這時任意實數均為函數f（x）的“均值”；

③當I=（a，+∞）或（－∞，a）或［a，+∞）或（－∞，a］或［a，b）或（a，b］時，函數f（x）不存在“均值”．

金刊提醒

求解此類試題要過三關：一是審題關，深刻理解定義的內涵；二是計算關，注意計算的準確性；三是應用關，能夠應熟練用其他的數學知識解題.

“是否”存在探究型

（★★★★★）必做3 已知數列｛an｝的前n項和為Sn，且滿足2Sn=pan－2n，n∈N，其中常數p>2．

（1）證明：數列｛an+1｝為等比數列．

（2）若a2=3，求數列｛an｝的通項公式．

（3）對于（2）中數列｛an｝，若數列｛bn｝滿足bn=log（an+1）（n∈N），在bk與bk+1之間插入2k－1（k∈N）個2，得到一個新的數列｛cn｝，試問：是否存在正整數m，使得數列｛cn｝的前m項的和Tm=2011．

如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

精妙解法 （1）因為2Sn=pan－2n，

所以2Sn+1=pan+1－2（n+1），

所以2an+1=pan+1－pan－2，

所以an+1=an+，

所以an+1+1=（an+1）．

因為2a1=pa1－2，所以a1=>0，

所以a+1>0，

所以=≠0，

所以數列｛an+1｝為等比數列．

（2）由（1）知an+1=，

所以an=－1．

又a2=3，所以－1=3，

所以p=4，

所以an=2n－1．

（3）由（2）得bn=log22n，

即bn=n（n∈N），數列｛cn｝中，bk（含bk項）前的所有項的和是：

（1+2+3+…+k）+（20+21+22+…+2k－2）×2=+2k－2．

當k=10時，其和是55+210－2=1077<2011，

當k=11時，其和是66+211－2=2112>2011．

又因為2011-1077=934=467×2，是2的倍數，

所以當m=10+（1+2+22+…+28）+467=988時，Tm=2011，

所以存在m=988使得Tm=2011．

（★★★★）必做4 已知四棱錐P－ABCD的直觀圖與三視圖如圖1所示，點E為棱AD的中點. 在棱PC上是否存在一點F，使得EF⊥平面PBC？若存在，求出線段EF的長度；若不存在，說明理由．

破解思路 三視圖為本題求解提供了數據，求解本題可用空間向量法，即設F（x，y，z），利用線面垂直所滿足的垂直關系而得到關于x，y，z的方程，從而使問題可解.

圖1

精妙解法 若在棱PC上存在點F，使得EF⊥平面PBC，由三視圖知，此四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，所以AB，AP，AD兩兩互相垂直. 以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，1，0），P（0，0，2）. 設F（x，y，z）是PC上的點，則因為＝λ（0≤λ≤1），＝（x，y，z－2），＝（2，2， －2），所以x=2λ，y=2λ，y-2=-2λ，即x=2λ，y=2λ，y=2-2λ.所以F（2λ，2λ，2－2λ），所以＝（2λ，2λ－1，2－2λ），因為EF⊥平面PBC，所以·=0，·=0.因為＝（0，2，0），＝（2，2， －2），所以4λ+4λ-2-4+4λ=0，4λ-2=0所以λ＝，這時F（1，1，1），因為∈［0，1］，所以存在點F，且F為棱PC的中點，此時＝（1，0，1），所以EF＝＝.

極速突擊 立體幾何問題中關于此類探究題型越來越成為高考考查的熱點，此類問題常常應用空間向量法通過線面關系及解方程來求解相關未知量. 具體問題中要熟練掌握有關立體幾何的知識和利用空間向量求解或證明線面關系的方法.

金刊提醒

此類問題常見于立體問題、數列問題、解析幾何問題等中. 求解此類問題要能夠熟練掌握線線、線面、面面平行與垂直相互轉化的所有定理和利用空間向量求解立體問題常用的方法，以及準確掌握導數法求解有關數列問題的常用方法和常見題型的解法.

圖形、圖表探究型

（★★★）必做5 如圖2，一粒子在區域｛（x，y）x≥0，y≥0｝上運動，在第一秒內它從原點運動到點B1（0，1），接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度．

圖2

（1）設粒子從原點到達點An，Bn，Cn時，所經過的時間分別為an，bn，cn，試寫出｛an｝，｛bn｝，｛cn｝的通項公式；

（2）求粒子從原點運動到點P（16，44）時所需的時間；

（3）粒子從原點開始運動，求經過2004秒后，它所處的坐標．

精妙解法 （1）由圖形可設A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0），當粒子從原點到達A時，明顯有

a1=3，

a2=a1+1，

a3=a1+12=a1+3×4，

a4=a3+1，

a5=a3+20=a3+5×4，

a6=a5+1，

……

a2n－1=a2n－3+（2n－1）×4，

a2n=a2n－1+1，

所以a2n－1=a1+4［3+5+…+（2n－1）］＝4n2－1，a2n=a2n－1+1=4n2．

b2n－1=a2n－1－2（2n－1）=4n2－4n+1，

b2n=a2n+2×2n=4n2+4n．

c2n－1=b2n－1+（2n－1）=4n2－2n=（2n－1）2+（2n－1），

c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+（2n），

即cn=n2+n．

（2）由圖形知，粒子從原點運動到點P（16，44）時所需的時間是到達點C44所經過的時間c44再加（44－16）＝28秒，所以t=442+44+28=2008秒．

（3）由cn=n2+n≤2004，解得1≤n≤，取最大得n=44，

經計算，得c44＝1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經過1980秒后到達點C44，再向左運行24秒所到達的點的坐標為（20，44）．

金刊提醒

在解答圖表信息題時， 我們要充分利用數形結合思想，既要有“由形想數”的能力，又要有“由數解形”的思維.