2012年高考數學沖刺金卷(一)

（本套試卷滿分200分，考試時間120分鐘）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1． 設f（n）=+（n∈Z），則f（2012）的值為_____．

2． 命題：“若a，b，c成等比數列，則b2＝ac”及其逆命題、否命題、逆否命題中正確的個數是________．

3． 若△ABC的三個內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，向量m=（a+c，b－a），n=（a－c，b），若m⊥n，則∠C=________．

4． 設a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列4組條件中所有能推得a⊥b的條件是________． （填序號）

①aα，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；

③aα，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β．

5． 數列｛an｝：a1=p，an+1=qan+r（p，q，r是常數），則r=0是數列｛an｝成等比數列的_______條件（從“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”中選擇一個填空）．

6． f（x），g（x）的定義域為R，且f（x）≥0的解集為｛x1≤x≤2｝，g（x）≥0的解集為空集，則不等式f（x）g（x）>0的解集為________．

7． 雙曲線x2－＝1的漸近線被圓x2＋y2－6x－2y＋1＝0所截得的弦長為________．

8． 已知向量p的模是，向量q的模為1，p與q的夾角為，a＝3p＋2q，b＝p－q，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的長度較小的對角線的長是________．

9． 已知點P（x，y）的坐標滿足條件x+y≤4，y≥x，x≥1，則點P到直線4x+3y+1=0的距離的最大值是________．

10． 數列｛an｝中，若a1=-1，a2=2，an+1-an-an+2=0，則數列的前1990項的和等于________．

11． 已知橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得=e，則該離心率e的取值范圍是________．

12． 若x，y>0，且x+2y=1，則x+y+的最小值是________．

13． 設函數f（x）=ex（sinx－cosx），若0≤x<2012π，則函數f（x）的各極大值之和為________．

14． 若x－a+≥對一切x＞0恒成立，則a的取值范圍是________．

二、解答題：本題共6小題，共90分．

15． （本小題滿分14分）已知函數f（x）＝sin2x＋sinxcosx－（x∈R）．

（1）若x∈0，，求f（x）的最大值；

（2）在△ABC中，若A＜B， f（A）＝f（B）＝，求的值．

16． （本小題滿分14分）已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為直角梯形，且滿足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB1＝8，E，F分別是線段A1A，BC上的點．

（1）若A1E＝5，BF＝10，求證：BE∥平面A1FD．

（2）若BD⊥A1F，求三棱錐A1－AB1F的體積．

17． （本小題滿分14分）省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數f（x）與時刻x（時）的關系為f（x）＝-a＋2a＋， x∈［0，24］，其中a是與氣象有關的參數，且a∈0，，若取每天f（x）的最大值為當天的綜合放射性污染指數，并記作M（a）．

（1）令t＝，x∈［0，24］，求t的取值范圍；

（2）省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問：目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標．

18． （本小題滿分16分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0），⊙O：x2＋y2＝b2，點A，F分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是⊙O上的動點．

（1）若P（－1，），PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程．

（2）是否存在這樣的橢圓C，使得是常數？如果存在，求C的離心率；如果不存在，說明理由．

19． （本小題滿分16分）已知函數f（x）＝ax2－（2a＋1）x＋2lnx（a為正數）．

（1）若曲線y＝f（x）在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

（2）求f（x）的單調區間；

（3）設g（x）＝x2－2x，若對任意的x1∈（0，2］，均存在x2∈（0，2］，使得f（x1）＜g（x2），求實數a的取值范圍．

20． （本小題滿分16分）設數列｛an｝滿足：a1＝1，a2＝2，an+2＝（n≥1，n∈N）．

（1）求證：數列是常數列；

（2）求證：當n≥2時，2＜a2n－a2n-1≤3；

（3）求a2011的整數部分．

數學附加題

21． 【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，只能選做2題，每小題10分，共20分．

A． 選修4-1：幾何證明選講

如圖3，設AB為⊙O的任意一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC＝PD． 求證：

（1）l是⊙O的切線；

（2）PB平分∠ABD．

B． 選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣A將點（1，0）變換為（2，3），且屬于特征值3的一個特征向量是11，求矩陣A．

C． 選修4-4：坐標系與參數方程

在極坐標系中，設圓ρ=3上的點到直線ρ（cosθ+sinθ）=2的距離為d，求d的最大值．

D． 選修4-5：不等式選講

已知a，b，c是正實數，求證：＋＋≥＋＋．

【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共20分．

22． （本小題滿分10分）如圖4，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．

（1）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（2）求平面OAB與平面OCD所成二面角的余弦值．

23． （本小題滿分10分）已知直線y=2x+k被拋物線x2=4y截得的弦長AB為20，O為坐標原點．

（1）求實數k的值；

（2）問點C位于拋物線弧AOB上何處時，△ABC面積最大．