方法決定成敗,“時間”決定“行為”

帶電粒子在復合場中的運動是比較復雜的問題，“時間”決定著帶電粒子在復合場中運動的“行為”是近幾年高考命題的熱點，也是大家學習中的重點和難點．所謂的“時間”是一個廣義的時間，可以是粒子的運動時間，場的變化時間，也可以是某個時刻，或某段時間間隔，而所謂“行為”就是對粒子或對復合場提出的某種要求．

一、找出運動特征，巧求粒子運動時間

例1 1932年，勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖1所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫寬d很小，磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直．A處粒子源產生的粒子質量為m、電荷量為+q ，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過程中不考慮相對論效應和重力作用．

（1）若兩盒間狹縫寬d很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計．求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間；

（2）若帶電粒子穿過狹縫的時間不能忽略，求粒子在整個狹縫中運動的時間．

解析：（1）設粒子到出口處被加速了n圈，

（2）因為在電場中加速時的加速度大小相等，加速時間每一次不相等，設第1次為，第2次為，第3次為，……第n次為，每次加速后的軌道半徑分別為r1、r2、r3……rn，則在電場中加速的總時間為 ：

求這個時間還可以用更巧妙的方法：把粒子在狹縫的整個加速運動看成是連續的初速度為零的勻加速直線運動．由勻變速直線運動的規律 （n為粒子到射出被加速的圈數）， 仍然可以求得．

點評：粒子在磁場中運動的速度不斷變大，但在磁場中運動的周期與速度大小無關．因此，關鍵是找出加速的次數n；另外，要求粒子在狹縫中的時間，關鍵分析出粒子每次在狹縫中都是勻變速運動．所以同學們在遇到這類問題時，首先要根據題意分析出粒子運動的特點，再用巧妙的方法求解．

二、利用分運動，求電場變化的時間

例2 如圖2甲所示，在真空中水平放置兩塊平行金屬板，兩板相距為d，板長為L，兩板間加上如圖乙所示的周期性交變電壓，在t=T/4時，有一電子（質量為m，電荷量為e）以水平速度沿兩板正中央飛入電場，要使電子仍從兩板中央沿水平方向飛出電場，交變電壓的頻率最小是多少？在這個頻率時所加電壓最大不能超過多少？

解析：電子在電場中的運動狀態是水平方向分運動是以速度做勻速直線運動． 豎直方向的分運動是第一個勻加速，第二個勻減速至零，并達最大位移，第三個反向勻加速，第四個勻減速至零，又回到中央水平直線處．

電子仍能從兩板中央沿水平方向飛出，必須是電子到達極板右端時，在豎直方向上又回到中央直線處，且豎直分速度為零，則飛行時間為經歷一個周期或幾個周期的時間即，周期為最大值時，

對應的頻率的最小值：，

經過時，電子在豎直方向到達最大位移處，即，

為使電子不碰到極板應滿足，得．

點評：解決這類問題的核心是粒子在電場方向上一個周期內的位移必須為零，速度的改變量為零．我們知道任何復雜的運動，都可以等效為兩個簡單的分運動，而運動又具有獨立性，所以抓住某個分運動特征進行求解，往往使復雜的問題簡單化．

三、巧用對稱性，確定粒子進入場的時間

例3 如圖3甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為，第一、四象限有磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側的粒子源沿x軸向右連接發射質量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子．在0~ 3t0時間內兩板間加上如圖3乙所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）．

已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t0時刻經極板邊緣射入磁場．上述m、q、、t0、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）求：何時進入兩板間的帶電粒子在磁場中的運動時間最短？求此最短時間．

解析：t=o時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運動， t0時刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負方向偏移的距離為l/2，設其加速度大小為a ，則有l/2=at02/2 ①，

因為粒子在磁場中運動的時間與在磁場中轉過的圓心角度有直接關系，由對稱性知，2t0時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短．帶電粒子離開磁場時沿y軸正方向的分速度為 ②，

設帶電粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為，則 ③，

帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為v0=l/t0 ④，

聯立①②③④式解得，帶電粒子在磁場運動的軌跡圖如圖4所示，圓弧所對的圓心角為，所求最短時間為，帶電粒子在磁場中運動的周期為，聯立以上兩式解得．

點評：磁場中圓周運動時間的最值問題，由和得帶電粒子在磁場中運動時間，時間與速度無關，圓心角越大，則粒子運動時間越長，因此圓心角之“最”決定運動時間之“最”．

四、利用數學規律，求粒子運動時間的最值

例4 在某平面上有一半徑為R的圓形區域，區域內外均有垂直于該平面的勻強磁場，圓外磁場范圍足夠大，已知兩部分磁場方向相反且磁感應強度都為B，方向如圖5所示．現在圓形區域的邊界上的A點有一個電量為，質量為的帶正電粒子，以沿OA方向的速度經過A點，已知該粒子只受到磁場對它的作用力．若粒子在其與圓心O的連線旋轉一周時恰好能回到A點，求該粒子回到A點所需的最短時間．

解析：設粒子運動的半徑為r，

由此可知粒子在圓形區域外和圓形區域內圓周運動的軌道半徑相同．

如圖6，O1為粒子運動的第一段圓弧AB的圓心，O2為粒子運動的第二段圓弧BC的圓心，根據幾何關系可

故∠AOB=∠BOC=2θ

如果粒子回到A點，則必有n˙2θ=2π（n取正整數） ③，

考慮到θ為銳角，即0<θ<，根據③可得

粒子做圓周運動的周期T=．

因為粒子每次在圓形區域外運動的時間和圓形區域內運動的時間互補為一個周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數越少，所花時間就越短，因此取

而粒子在圓形區域外運動的圓弧的圓心角為α，

故所求的粒子回到A點的最短運動時間為t=T+T=．

點評：粒子要回到A點，必須滿足n˙2θ=2π這個關系式，要使運動的時間最短，必須n最小．可見把數學和物理有機結合解決這類問題很方便，我們知道數學有很多規律可以應用到物理解題中，特別對求解物理最值問題很有效．

五、用累積法，求變加速運動的時間

例5 如圖所示，質量為m、邊長為L的正方形閉合線圈從有理想邊界的水平勻強磁場上方h高處由靜止起下落，磁場區域的邊界水平，磁感應強度大小為B，線圈的電阻為R，線圈平面始終在豎直面內并與磁場方向垂直，ab邊始終保持水平．若線圈一半進入磁場時恰開始做勻速運動，重力加速度為g.求：從線圈cd邊進入磁場到開始做勻速運動所經歷的時間t

解析：先求出線圈勻速運動時的速度，線圈勻速運動時，受到的重力和安培力平衡，

設線圈進入磁場過程中的加速度為a，

線圈進入磁場過程中，設極短時間內的速度變化為，

點評：從上面的問題可以看出，線圈的加速度逐漸減小，速度逐漸增大，最后勻速運動．求這種變加速運動的時間是沒辦法直接用公式來解決的，我們用這樣一種累積思想就可以解決此類問題．